《2025年广东名师讲练通九年级数学全一册北师大版深圳专版》

 **例3** 如图,点$D$是线段$AB$的中点,点$C$是线段$AB$的垂直平分线上的任意点,$DE\perp AC$于点$E$,$DF\perp BC$于点$F$.
(1)求证:$CE = CF$;
(2)线段$CD$与$AB$满足什么数量关系时,四边形$CEDF$成为正方形? 请说明理由.

答案：

(1)证明:
∵CD垂直平分AB，
∴AC=CB.
∴△ABC是等腰三角形.
∵CD⊥AB，
∴∠ACD=∠BCD.
∵DE⊥AC,DF⊥BC,
∴∠DEC=∠DFC=90°.
∴∠EDC=∠FDC.
在△DEC与△DFC中，$\begin{cases}∠ACD=∠BCD,\\CD=CD,\\∠EDC=∠FDC\end{cases}$
∴△DEC≌△DFC(ASA)，
∴CE=CF;

(2)解:当CD=$\frac{1}{2}$AB时，四边形CEDF为正方形.理由如下:
∵CD⊥AB，
∴∠CDB=∠CDA=90°,
∵CD=$\frac{1}{2}$AB，
∴CD=BD=AD,
∴∠B=∠DCB=∠ACD=45°，
∴∠ACB=90°，
∴四边形ECFD是矩形.
∵CE=CF,
∴四边形ECFD是正方形.

 **对点训练3** (根据九年级北师大版教材P13第13题改编)如图,在$\text{Rt}\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$\angle BAC$,$\angle ABC$的平分线相交于点$D$,$DE\perp BC$,$DF\perp AC$,垂足分别为$E$,$F$.求证:四边形$CEDF$是正方形.

答案：
证明:如图，过点D作DN⊥AB，

∵∠C=90°，DE⊥BC,DF⊥AC,
∴四边形CEDF是矩形,
∵∠BAC，∠ABC的平分线相交于点D，DE⊥BC，DF⊥AC，DN⊥AB，
∴DF=DN,DE=DN，
∴FD=ED
∴四边形CEDF是正方形.

1. 下列四个命题:
①一组对边平行的四边形是平行四边形;
②每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形;
③两条对角线互相垂直的矩形是正方形;
④顺次连接等腰梯形四边中点所得的四边形是等腰梯形.
其中正确的有(B).
A. $1$个
B. $2$个
C. $3$个
D. $4$个

答案： B

2. (2024秋·光明区月考)小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图,(1)(2)(3)(4)处需要添加条件,则下列条件添加错误的是(D).

A. (1)处可填$\angle A = 90^{\circ}$
B. (2)处可填$AD = AB$
C. (3)处可填$DC = CB$
D. (4)处可填$\angle B=\angle D$

答案： D