《2025年广东名师讲练通九年级数学全一册北师大版深圳专版》

**知识点1 等比性质**
如果$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\cdots=\frac{m}{n}(b + d + \cdots + n \neq 0)$，那么①$\frac {a+c+... +m}{b+d+... +n}=\frac {a}{b}$。
注意：该性质使用时的前提要求是$b + d + \cdots + n \neq 0$。

答案： ①$\frac {a+c+... +m}{b+d+... +n}=\frac {a}{b}$

**例1**（根据九年级北师大版教材P80随堂练习改编）已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{3}{4}(b + d \neq 0)$，则$\frac{a + c}{b + d}=$$\frac {3}{4}$。

答案： $\frac {3}{4}$

**对点训练1** 若$a$，$b$，$c$，$d$，$e$，$f$满足：$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{2024}{2025}$，则代数式$\frac{a + 21c - 3e}{b + 21d - 3f}=$$\frac {2024}{2025}$。

答案： $\frac {2024}{2025}$

**知识点2 合比性质**
如果$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，那么$\frac{a + b}{b}=$②$\frac {c+d}{d}$；$\frac{a - b}{b}=$③$\frac {c-d}{d}$。
特别说明：比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项、后项之间发生同样和差变化，比例仍成立。
如：$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\begin{cases}\frac{b - a}{a}=\frac{d - c}{c},\\frac{a - b}{a + b}=\frac{c - d}{c + d}.\end{cases}$

答案： ②$\frac {c+d}{d}$ ③$\frac {c-d}{d}$

**例2** 如果$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，证明$\frac{a + b}{b}=\frac{c + d}{d}$成立。
证明：$\because \frac {a}{b}=\frac {c}{d},\therefore \frac {a}{b}+1=\frac {c}{d}+1$，即$\frac {a}{b}+\frac {b}{b}=\frac {c}{d}+\frac {d}{d},\therefore \frac {a+b}{b}=\frac {c+d}{d}.$

答案： 证明：$\because \frac {a}{b}=\frac {c}{d},\therefore \frac {a}{b}+1=\frac {c}{d}+1$，即$\frac {a}{b}+\frac {b}{b}=\frac {c}{d}+\frac {d}{d},\therefore \frac {a+b}{b}=\frac {c+d}{d}.$

**对点训练2** （1）已知$\frac{a}{b}=2$，求$\frac{a + b}{b}$的值；3
（2）已知$\frac{a}{b}=\frac{5}{2}$，求$\frac{a - b}{a + b}$的值。$\frac{3}{7}$

答案： 解：（1）$\frac {a+b}{b}=\frac {2b+b}{b}=3$. （2）$\frac {a-b}{a+b}=\frac {\frac {5}{2}b-b}{\frac {5}{2}b+b}=\frac {3}{7}.$