《2025年广东名师讲练通九年级数学全一册北师大版深圳专版》

知识点1 当 $ a $ 为正数时，$ y = ax ^ { 2 } + k $ 的图象与性质
二次函数 $ y = ax ^ { 2 } + k $ 的图象是一条①抛物线，当 $ a ＞ 0 $ 时，它的开口向②上，对称轴是③$ y $ 轴，顶点坐标是④$ (0, k) $，顶点是图象的最⑤低点。

答案： ①抛物线 ②上 ③ $ y $ 轴 ④ $ (0, k) $ ⑤低

【例1】抛物线 $ y = x ^ { 2 } - 1 $ 的顶点坐标是(B)。
A. $ ( 0, 1 ) $
B. $ ( 0, - 1 ) $
C. $ ( 1, 0 ) $
D. $ ( - 1, 0 ) $

答案： B

对点训练1 抛物线 $ y = 2 x ^ { 2 } + 1 $ 的顶点坐标是(C)。
A. $ ( 0, 0 ) $
B. $ ( 0, - 1 ) $
C. $ ( 0, 1 ) $
D. $ ( 1, 0 ) $

答案： C

【例2】对于二次函数 $ y = \frac { 3 } { 2 } x ^ { 2 } + 2 $，下列说法中错误的是(B)。
A. 最小值为2
B. 图象与 $ y $ 轴没有公共点
C. 当 $ x ＜ 0 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小
D. 其图象关于 $ y $ 轴对称

答案： B

对点训练2 对于二次函数 $ y = 3 x ^ { 2 } + 2 $，下列说法错误的是(D)。
A. 最小值为2
B. 图象与 $ x $ 轴没有公共点
C. 图象的对称轴是 $ y $ 轴
D. 当 $ x ＜ 0 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大

答案： D

知识点2 当 $ a $ 为负数时，$ y = ax ^ { 2 } + k $ 的图象与性质
二次函数 $ y = ax ^ { 2 } + k $ 的图象是一条⑥抛物线，当 $ a ＜ 0 $ 时，它的开口向⑦下，对称轴是⑧$y$轴（或直线$x = 0$），顶点坐标是⑨$(0,k)$，顶点是图象的最⑩高点

答案： ⑥$抛物线$；⑦$下$；⑧$y$轴（或直线$x = 0$）$；⑨$(0,k)；⑩$高$。

【例3】抛物线 $ y = - x ^ { 2 } + 3 $ 的开口向下，对称轴是$ y $ 轴，当 $ x = $0时，$ y $ 有最大值，是3。

答案： 下 $ y $ 轴 0 大 3

对点训练3 与抛物线 $ y = - x ^ { 2 } - 1 $ 顶点相同，形状相同且开口方向相反的抛物线所对应的函数表达式是(B)。
A. $ y = - x ^ { 2 } - 1 $
B. $ y = x ^ { 2 } - 1 $
C. $ y = - x ^ { 2 } + 1 $
D. $ y = x ^ { 2 } + 1 $

答案： 1. 首先明确抛物线$y = ax^{2}+bx + c$（$a\neq0$）的性质：
对于抛物线$y=-x^{2}-1$，其顶点式为$y = a(x - h)^{2}+k$（这里$h = 0$，$k=-1$），顶点坐标为$(0,-1)$，$a=-1$。
抛物线$y = ax^{2}+bx + c$的形状由$\vert a\vert$决定，开口方向由$a$的正负决定。
2. 然后根据条件求抛物线表达式：
已知所求抛物线与$y=-x^{2}-1$顶点相同，则顶点坐标$(h,k)=(0,-1)$；形状相同，则$\vert a\vert=\vert - 1\vert = 1$；开口方向相反，则$a = 1$。
由顶点式$y=a(x - h)^{2}+k$（$h = 0$，$k=-1$，$a = 1$），可得$y=(x - 0)^{2}-1$。
所以函数表达式为$y=x^{2}-1$，答案是B。

【例4】将二次函数 $ y = x ^ { 2 } $ 的图象向下平移1个单位长度，则平移后得到的图象对应的函数表达式为(A)。
A. $ y = x ^ { 2 } - 1 $
B. $ y = x ^ { 2 } + 1 $
C. $ y = ( x - 1 ) ^ { 2 } $
D. $ y = ( x + 1 ) ^ { 2 } $

答案： A

对点训练4 抛物线 $ y = \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } $ 向上平移2个单位长度后得到的新抛物线的表达式为$ y = \frac{1}{2}x^2 + 2 $。

答案： $ y = \frac{1}{2}x^2 + 2 $