《2025年广东名师讲练通九年级数学全一册北师大版深圳专版》

**知识点1** 二次函数$ y = a(x - h)^2 $的图象与性质
1. 当$ a ＞ 0 $时，抛物线开口向①上，对称轴是直线②x=h，顶点坐标为③(h，0)；
2. 当$ a ＜ 0 $时，抛物线开口向④下，对称轴是直线⑤x=h，顶点坐标为⑥(h，0)；
3. 抛物线$ y = a(x - h)^2 $可以看成是由抛物线$ y = ax^2 $⑦左右平移得到的。

答案： ①上 ②x=h ③(h，0) ④下 ⑤x=h ⑥(h，0) ⑦左右

**对点训练3** 将抛物线$ y = x^2 + 1 $先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式是(B)。
A. $ y = (x + 2)^2 + 2 $
B. $ y = (x + 2)^2 - 2 $
C. $ y = (x - 2)^2 + 2 $
D. $ y = (x - 2)^2 - 2 $

答案： B

**例4** 对于抛物线$ y = -\frac{1}{2}(x + 1)^2 + 3 $，有下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线$ x = 1 $；③顶点坐标为$ (-1, 3) $；④当$ x ＞ 1 $时，$ y $随$ x $的增大而减小。其中正确结论的个数为(C)。
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

答案： C

**对点训练4** 对于抛物线$ y = (x + 1)^2 - 3 $，有下列结论：①抛物线的开口向上；②对称轴为直线$ x = -1 $；③顶点坐标为$ (-1, -3) $；④当$ x ＞ 1 $时，$ y $随$ x $的增大而增大。其中正确的结论是①②③④(填序号)。

答案： ①②③④

1. (2024春·龙华区月考)二次函数$ y = (x + 3)^2 - 7 $的顶点坐标是(C)。
A. $ (-3, 7) $
B. $ (3, 7) $
C. $ (-3, -7) $
D. $ (3, -7) $

答案： C

2. 如图，二次函数$ y = a(x + 1)^2 + k $的图象与$ x $轴交于$ A(-3, 0) $，$ B $两点，下列说法错误的是(D)。

A. $ a ＜ 0 $
B. 图象的对称轴为直线$ x = -1 $
C. 点$ B $的坐标为$ (1, 0) $
D. 当$ x ＜ 0 $时，$ y $随$ x $的增大而增大

答案： D

3. (2024春·龙华区月考)将抛物线$ y = -(x - 3)^2 + 5 $向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度，平移后的抛物线的函数表达式为(A)。
A. $ y = -(x - 5)^2 - 1 $
B. $ y = -(x - 1)^2 - 1 $
C. $ y = -(x - 5)^2 + 11 $
D. $ y = -(x - 1)^2 + 11 $

答案： A

4. (2024·南山区校级模拟)若二次函数$ y = (x + 2)^2 - 1 $的图象经过点$ A(-1, y_1) $，$ B(-2, y_2) $，$ C(3, y_3) $，则$ y_1 $，$ y_2 $，$ y_3 $的大小关系为y3＞y1＞y2。

答案： y3＞y1＞y2

5. 对于二次函数$ y = (x - 1)^2 + 2 $的图象，下列说法正确的是(C)。
A. 开口向下
B. 对称轴是直线$ x = -1 $
C. 顶点坐标是$ (1, 2) $
D. 与$ x $轴有两个交点

答案： C

6. 将抛物线$ y = 2x^2 $向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为(B)。
A. $ y = 2(x + 2)^2 + 3 $
B. $ y = 2(x - 2)^2 + 3 $
C. $ y = 2(x - 2)^2 - 3 $
D. $ y = 2(x + 2)^2 - 3 $

答案： B