《2025年广东名师讲练通九年级数学全一册北师大版深圳专版》

3. 下列命题：
①平行四边形的对边相等；
②对角线相等的四边形是矩形；
③对角线互相垂直平分的四边形是矩形；
④对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
其中真命题的个数为(B)。
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

答案： B

4. (2024秋·龙岗区月考)如图，在矩形ABCD中，AB=30cm，动点P从点A出发沿AB边以5cm/s的速度向点B运动，动点Q从点C出发沿CD边以1cm/s的速度向点D运动，点P和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t，则当t=(C)s时，四边形APQD是矩形。

A. 3
B. 4
C. 5
D. 6

答案： C

5. (根据九年级北师大版教材P16例3改编)如图，在矩形ABCD中，AB=4，DE⊥AC于点E，AE=3CE，则DE的长为(2√3)。

A. √3
B. 2
C. 2√2
D. 2√3

答案： D 解析：
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴OA=$\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}BD$，
∴OA=OD=OC，
∴∠OAD=∠ODA.
∵AE=3CE，
∴CE=$\frac{1}{4}AC=\frac{1}{2}OC=\frac{1}{2}(OE+CE)$，
∴OE=CE.又
∵DE⊥AC，故点 D 在线段 OC 的垂直平分线上，
∴OD=CD，
∴OC=OD=CD，
∴△OCD 为等边三角形，
∴∠OCD=60°，
∴∠DAC=90°−∠OCD=30°.
∵在 Rt△ACD 中，CD=AB=4，
∴AC=2CD=8，
∴AD=$\sqrt{AC^{2}-CD^{2}}=\sqrt{8^{2}-4^{2}}=4\sqrt{3}$，
∴DE=$\frac{1}{2}AD=2\sqrt{3}$.

6. (根据九年级北师大版教材P19第5题改编)如图，矩形ABCD中，AB=5，BC=12，对角线AC，BD相交于点O，点P是线段AD上任意一点，且PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF等于$\frac{60}{13}$。

答案： $\frac{60}{13}$ 解析：如图，连接 OP，
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AC=BD，∠ABC=90°，点 O 是对角线的中点，
∴OA=OD.
∵AB=5，BC=12，
∴AC=$\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{5^{2}+12^{2}}=13$，
∴OA=OD=$\frac{1}{2}AC=\frac{13}{2}$.
∵S矩形ABCD=AB·BC=5×12=60，S△AOD=$\frac{1}{4}$S矩形ABCD，
∴S△AOD=$\frac{1}{4}$S矩形ABCD=15.
∵PE⊥AC 于点 E，PF⊥BD 于点 F，
∴S△AOD=S△APO+S△DPO，
∴S△AOD=$\frac{1}{2}OA\cdot PE+\frac{1}{2}OD\cdot PF=\frac{1}{2}\times\frac{13}{2}(PE+PF)$，即$\frac{1}{2}\times\frac{13}{2}(PE+PF)=15$，
∴PE+PF=$\frac{60}{13}$.

7. (2024秋·光明区校级月考)如图，菱形ABCD的对角线交于点O，BE//AC，AE//BD，EO与AB交于点F。
(1)求证：四边形AEBO是矩形；
证明：∵BE//AC，AE//BD，
∴四边形 AOBE 是平行四边形.
∵四边形 ABCD 是菱形，∴AC⊥BD，
∴平行四边形 AOBE 是矩形.
(2)若OE=10，AE=8，求菱形ABCD的面积。
解：∵四边形 AOBE 是矩形，
∴BO=AE=8，∠EAO=90°，
∴AO=$\sqrt{EO^{2}-AE^{2}}=\sqrt{10^{2}-8^{2}}=$6.
∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AC=2AO=12，BD=2BO=16，
∴菱形 ABCD 的面积为$\frac{1}{2}AC\cdot BD=\frac{1}{2}×12×16=$96.

答案：
(1)证明：
∵BE//AC，AE//BD，
∴四边形 AOBE 是平行四边形.
∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AC⊥BD，
∴平行四边形 AOBE 是矩形.
(2)解：
∵四边形 AOBE 是矩形，
∴BO=AE=8，∠EAO=90°，
∴AO=$\sqrt{EO^{2}-AE^{2}}=\sqrt{10^{2}-8^{2}}=6$.
∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AC=2AO=12，BD=2BO=16，
∴菱形 ABCD 的面积为$\frac{1}{2}AC\cdot BD=\frac{1}{2}\times12\times16=96$.