《2025年广东名师讲练通九年级数学全一册北师大版深圳专版》

**知识点1 频率与概率的定义**
频率：在相同条件下重复$n$次试验，事件$A$发生的次数$m$与试验总次数$n$的①比值．
概率：事件$A$的频率$\frac{m}{n}$接近某个常数，这时就把这个常数叫做事件$A$的②概率，记作$P(A)$．
注意：事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近．可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值．

答案： ①比值 ②概率

**【例1】** 在“抛掷正六面体”的试验中，正六面体的六个面分别标有数字“1”“2”“3”“4”“5”“6”，当试验次数很大时，数字“6”朝上的频率的变化趋势接近的值是$\frac{1}{6}$．

答案： 【例 1】 $\frac{1}{6}$ 

**对点训练1** 抛一枚均匀的硬币100次，若出现正面的次数为45次，则出现正面的频率是______0.45．

答案： 对点训练 1 0.45

**【例2】** 已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有9个，黑球有$n$个，若随机地从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过大量重复试验发现摸出黑球的频率稳定在0.4附近，则$n$的值为(B)．
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8

答案： 【例 2】 B

**对点训练2** 在一个不透明的袋子中装有2个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同．每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出白球的频率稳定在0.25附近，估计袋子中的红球有6个．

答案： 对点训练 2 6

**【例3】** 小梦在研究“掷一枚图钉，针尖朝上”的概率，于是她便用同一枚图钉做试验进行研究，得到如下的数据：
|掷图钉的次数|500|800|1000|
|----|----|----|----|
|针尖朝上的频率|68%|69%|68%|
请利用以上数据估算“掷这枚图钉，针尖朝上”的概率是0.68．

答案： 【例 3】 0.68

**对点训练3** (2024秋·龙岗区月考)广东的气候适合很多花卉的生长，某大型花卉研究中心为了测试某种花的种子在一定条件下的发芽率，做了大量的种子发芽实验，得到如下的统计数据：
|实验种子数量$n/$颗|100|200|500|1000|2000|5000|
|----|----|----|----|----|----|----|
|发芽种子数量$m/$颗|93|188|473|954|1906|4748|
|种子发芽的频率$\frac{m}{n}$（精确到0.001）|0.930|0.940|0.946|0.954|0.953|0.950|
则任取一粒种子，估计它能发芽的概率为(C)．（结果精确到0.01）
A. 0.93
B. 0.94
C. 0.95
D. 0.96

答案：  对点训练 3 C