《2025年广东名师讲练通九年级数学全一册北师大版深圳专版》

知识点 菱形的判定
(1)判定定理一:对角线互相①垂直的②平行四边形是菱形.
几何语言:如图,∵AC⊥BD,四边形ABCD是平行四边形,
∴平行四边形ABCD是菱形.
温馨提示:使用判定定理一的前提条件是四边形是平行四边形.
(2)判定定理二:四边③相等的④四边形是菱形.
几何语言:如图,∵AB=BC=CD=DA,∴四边形ABCD是菱形.
温馨提示:使用判定定理二不需要平行四边形这个条件.

答案： ①垂直 ②平行四边形 ③相等 ④四边形

【例1】(2024秋·顺德区校级期中)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,过点D分别作AC和AB的平行线,交AB于点E,交AC于点F.求证:四边形AEDF是菱形.

证明：∵DE//AC，DF//AB，
∴四边形AEDF是平行四边形.
∵AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠FAD.
∵DF//AB，∴∠EAD=∠FDA，
∴∠FAD=∠FDA，∴AF=FD，
∴四边形AEDF是菱形.

答案： 证明：
∵DE//AC，DF//AB，
∴四边形AEDF是平行四边形.
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠FAD.
∵DF//AB，
∴∠EAD=∠FDA，
∴∠FAD=∠FDA，
∴AF=FD，
∴四边形AEDF是菱形.

对点训练1 如图,□ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD,BC分别交于点E,F.求证:四边形AFCE是菱形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO.
∵EF垂直平分AC，∴OA=OC，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE=OF，∴四边形AFCE是平行四边形.
∵EF⊥AC，∴□AFCE是菱形.

答案： 证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO.
∵EF垂直平分AC，
∴OA=OC，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE=OF，
∴四边形AFCE是平行四边形.
∵EF⊥AC，
∴□AFCE是菱形.

【例2】如图,在平行四边形ABCD中,AC为其对角线,过点D作AC的平行线与BC的延长线交于点E.
(1)求证:△ABC≌△DCE;
(2)若AC=BC,求证:四边形ACED为菱形.

答案： 证明：（1）
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD，
∴∠B=∠DCE.
又
∵DE//AC，
∴∠ACB=∠E.
在△ABC与△DCE中，$\begin{cases}AB = CD, \\ \angle ACB = \angle E, \\ \angle B = \angle DCE,\end{cases}$
∴△ABC≌△DCE.
（2）
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
即AD//CE.由DE//AC，
∴四边形ACED为平行四边形.
∵AC=BC，
∴∠B=∠CAB.
由AB//CD，
∴∠CAB=∠ACD.
又
∵∠B=∠ADC，
∴∠ADC=∠ACD，
∴AC=AD，
∴四边形ACED为菱形.

对点训练2 如图,△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,AE平分∠BAC交CD于点F,EG⊥AB交AB于点G.求证:四边形CEGF是菱形.
证明：∵AE平分∠BAC，EG⊥AB，∠ACB=90°，
∴CE=EG，∠CAE=∠GAE，∴∠AEG=∠AEC.
∵CE=EG，∠AEC=∠AEG，EF=EF，
∴△CEF≌△GEF（SAS），∴FC=FG，∠CEF=∠GEF.
∵CD⊥AB，EG⊥AB，∴CD//EG，∴∠CFE=∠GEF，
∴∠CFE=∠CEF，∴CF=CE.
∵FG=FC，CE=EG，∴CF=CE=EG=FG，
∴四边形CEGF是菱形.

答案： 证明：
∵AE平分∠BAC，EG⊥AB，∠ACB=90°，
∴CE=EG，∠CAE=∠GAE，
∴∠AEG=∠AEC.
∵CE=EG，∠AEC=∠AEG，EF=EF，
∴△CEF≌△GEF（SAS），
∴FC=FG，∠CEF=∠GEF.
∵CD⊥AB，EG⊥AB，
∴CD//EG，
∴∠CFE=∠GEF，
∴∠CFE=∠CEF，
∴CF=CE.
∵FG=FC，CE=EG，
∴CF=CE=EG=FG，
∴四边形CEGF是菱形.