《2025年广东名师讲练通九年级数学全一册北师大版深圳专版》

1. 在$△ABC$和$△A'B'C'$中,$AB=12,BC=15,$$AC=24,A'B'=4,B'C'=5,A'C'=8$,则$△ABC$和$△A'B'C'$相似(填“相似”或“不相似”).

答案： 相似

2. $△ABC$的三边长分别为$2,\sqrt {2},\sqrt {10},△A_{1}B_{1}C_{1}$的两边长分别为1和$\sqrt {5}$,当$△A_{1}B_{1}C_{1}$的第三边长为$\sqrt{2}$时,$△ABC$与$△A_{1}B_{1}C_{1}$相似.

答案： $\sqrt{2}$

3. (2024秋·宝安区校级月考)如图,在三角形纸片ABC中,$AB=6,BC=8,$$AC=4$.沿虚线剪下的阴影部分的三角形与$△ABC$相似的是(B).

答案： B

4. 如图所示,E是$△ABC$外一点,D在BE上,且$∠BAD=20^{\circ },\frac {AB}{AD}=\frac {BC}{DE}=\frac {AC}{AE}$,求$∠EBC$的度数.

解:∵$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}=\frac{AC}{AE}$，∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC=∠DAE，∠C=∠E，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，
即∠EAC=∠BAD=20°.
又∠AFE=∠BFC，∠C=∠E，
∴∠EBC=∠EAC=20°.

答案： 解:
∵$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}=\frac{AC}{AE}$，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC=∠DAE，∠C=∠E，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，
即∠EAC=∠BAD=20°.
又∠AFE=∠BFC，∠C=∠E，
∴∠EBC=∠EAC=20°.

5. 如图,在正方形网格中有5个格点三角形,分别是①$△ABC$,②$△ACD$,③$△ADE$,④$△AEF$,⑤$△AGH$.其中与⑤相似的三角形是(A).
A. ①③
B. ①④
C. ②④
D. ①③④

答案： A 解析:设每个小正方形的边长为1，则①△ABC的各边长分别为1，$\sqrt{2}$，$\sqrt{5}$；②△ACD的各边长分别为1，$\sqrt{5}$，2$\sqrt{2}$；③△ADE的各边长分别为2，2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{5}$；④△AEF的各边长分别为2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{5}$，6；⑤△AGH的各边长分别为$\sqrt{2}$，2，$\sqrt{10}$.
∴△ABC∽△AGH，△ADE∽△AGH. 故选A.

6. 定义:我们知道,凸四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形,如果这两个三角形相似(不全等),我们就把这个凸四边形叫做“自相似四边形”. 如图,点A,B,C是正方形网格中的格点,在网格中有格点D,使以A,B,C,D为顶点的四边形是“自相似四边形”.请找出符合条件的格点D,并画出相应的图形.

答案：
解:设每个小正方形的边长为1. 如图1，由$\frac{AB}{D_{1}A}=\frac{AC}{D_{1}C}=\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt{10}}{5}$，得△ABC∽△D₁AC，故D₁为所求点；
如图2，由$\frac{AB}{D_{2}A}=\frac{BC}{AB}=\frac{AC}{D_{2}B}=\sqrt{2}$，得△ABC∽△D₂AB，故D₂为所求点；
如图3，由$\frac{BC}{AB}=\frac{CD_{3}}{BD_{3}}=\frac{BD_{3}}{AD_{3}}=\sqrt{2}$，得△BCD₃∽△ABD₃，故D₃为所求点；
如图4，由$\frac{AB}{D_{4}C}=\frac{BC}{CA}=\frac{AC}{D_{4}A}=\frac{\sqrt{10}}{5}$，得△ABC∽△D₄CA，故D₄为所求点；
如图5，由$\frac{AB}{BC}=\frac{BC}{CD_{5}}=\frac{AC}{BD_{5}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，得△ABC∽△BCD₅，故D₅为所求点.
故符合条件的格点D有5个，其图形如下.