《2025年广东名师讲练通九年级数学全一册北师大版深圳专版》

知识点 根与系数的关系
如果方程 $ a x ^ { 2 } + b x + c = 0 ( a \neq 0 ) $ 有两个实数根 $ x _ { 1 } , x _ { 2 } $，那么 $ x _ { 1 } + x _ { 2 } = $ ①$-\frac {b}{a}$；$ x _ { 1 } x _ { 2 } = $ ②$\frac {c}{a}$。
注意：根与系数关系的使用条件为 $ a \neq 0 $，$ \Delta \geq 0 $。
常见与两根有关的代数式变形：
① $ x _ { 1 } ^ { 2 } + x _ { 2 } ^ { 2 } = ( x _ { 1 } + x _ { 2 } ) ^ { 2 } - 2 x _ { 1 } x _ { 2 } $； ② $ \frac { 1 } { x _ { 1 } } + \frac { 1 } { x _ { 2 } } = \frac { x _ { 1 } + x _ { 2 } } { x _ { 1 } x _ { 2 } } $；
③ $ \frac { x _ { 2 } } { x _ { 1 } } + \frac { x _ { 1 } } { x _ { 2 } } = \frac { ( x _ { 1 } + x _ { 2 } ) ^ { 2 } - 2 x _ { 1 } x _ { 2 } } { x _ { 1 } x _ { 2 } } $； ④ $ ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) ^ { 2 } = ( x _ { 1 } + x _ { 2 } ) ^ { 2 } - 4 x _ { 1 } x _ { 2 } $。

答案： ①$-\frac {b}{a}$ ②$\frac {c}{a}$

【例 1】若一元二次方程 $ x ^ { 2 } - 2 x - 4 = 0 $ 的两根为 $ x _ { 1 } , x _ { 2 } $，则 $ x _ { 1 } + x _ { 2 } $ 的值是(C)。
A. 4 B. -4 C. 2 D. -2

答案： C

对点训练 1 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x ^ { 2 } - 3 x - 5 = 0 $ 的两个实数根分别为 $ x _ { 1 } , x _ { 2 } $，则 $ x _ { 1 } x _ { 2 } $ 的值为(A)。
A. -5 B. -3 C. $ - \frac { 5 } { 3 } $ D. $ \frac { 5 } { 3 } $

答案： A

【例 2】(2024 秋·龙岗区校级月考)关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x ^ { 2 } - m x + 3 = 0 $ 的一个根是 1，则该方程的另一个根为(A)。
A. $ x = 3 $ B. $ x = 1 $ C. $ x = 4 $ D. $ x = 1 $ 或 $ x = 3 $

答案： A

对点训练 2 (2024 秋·光明区校级月考)已知 $ x = 1 $ 是一元二次方程 $ x ^ { 2 } + 3 x + m = 0 $ 的一个根，则另一个根为$x=-4$。

答案： 对点训练 2 $x=-4$

【例 3】已知 $ a , b $ 是方程 $ x ^ { 2 } - 2 x - 1 = 0 $ 的两个根，则 $ \frac { 1 } { a } + \frac { 1 } { b } = $-2。

答案： 【例 3】 -2

若 $ x _ { 1 } , x _ { 2 } $ 是方程 $ x ^ { 2 } - 2 x - 1 = 0 $ 的两个根，则 $ 2 x _ { 1 } + 2 x _ { 2 } - x _ { 1 } x _ { 2 } $ 的值为5。

答案： 对点训练 3 5

【例 4】已知关于 $ x $ 的方程 $ x ^ { 2 } - 2 m x + m ^ { 2 } - 9 = 0 $。
(1)求证：此方程有两个不相等的实数根；
证明：根据题意可知$\Delta =(-2m)^{2}-4(m^{2}-9)=$36＞0，∴方程有两个不相等的实数根.
(2)设此方程的两个根分别为 $ x _ { 1 } , x _ { 2 } $，若 $ x _ { 1 } + x _ { 2 } = 6 $，求 $ m $ 的值。
解：由题意得$x_{1}+x_{2}=$2m，
$\therefore x_{1}+x_{2}=2m=6$，解得$m=$3.

答案： 【例 4】 （1）证明：根据题意可知$\Delta =(-2m)^{2}-4(m^{2}-9)=36＞0$，
∴方程有两个不相等的实数根.
（2）解：由题意得$x_{1}+x_{2}=2m$，
$\therefore x_{1}+x_{2}=2m=6$，解得$m=3$.

(1)求证：无论 $ m $ 取任何实数，方程都有两个不相等的实数根；
证明：$a=1$，$b=-(m-1)$，$c=-2(m+3)$.
$\Delta =b^{2}-4ac=[-(m-1)]^{2}-4×1×[-2(m+3)]=m^{2}+6m+25=(m+3)^{2}+16$.
$\because (m+3)^{2}≥0$，$\therefore (m+3)^{2}+16＞0$，即$\Delta ＞0$，
∴无论$m$取任何实数，方程都有两个不相等的实数根.
(2)设 $ x _{1}, x _{2} $ 为方程的两个实数根，且 $ ( x _{1} + x _{2} ) ^{2} - 2 x _{1} \cdot x _{2} = 16 $，求 $ m $ 的值。
解：$\because x_{1}$，$x_{2}$为方程$x^{2}-(m-1)x-2(m+3)=0$的两个实数根，
$\therefore x_{1}+x_{2}=m-1$，$x_{1}x_{2}=-2(m+3)$.
$\because (x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}\cdot x_{2}=16$，
$\therefore (m-1)^{2}-2[-2(m+3)]=16$，
$\therefore m^{2}+2m-3=0$，$\therefore m_{1}=-3$，$m_{2}=1$.

答案： （1）证明：$a=1$，$b=-(m-1)$，$c=-2(m+3)$.
$\Delta =b^{2}-4ac=[-(m-1)]^{2}-4×1×[-2(m+3)]=m^{2}+6m+25=(m+3)^{2}+16$.
$\because (m+3)^{2}≥0$，$\therefore (m+3)^{2}+16＞0$，即$\Delta ＞0$，
∴无论$m$取任何实数，方程都有两个不相等的实数根.
（2）解：$\because x_{1}$，$x_{2}$为方程$x^{2}-(m-1)x-2(m+3)=0$的两个实数根，
$\therefore x_{1}+x_{2}=m-1$，$x_{1}x_{2}=-2(m+3)$.
$\because (x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}\cdot x_{2}=16$，
$\therefore (m-1)^{2}-2[-2(m+3)]=16$，
$\therefore m^{2}+2m-3=0$，$\therefore m_{1}=-3$，$m_{2}=1$.