《2025年广东名师讲练通九年级数学全一册北师大版深圳专版》

知识点1 当$a$为正数时，$y = ax^{2}$的图象与性质
二次函数$y = ax^{2}$的图象是一条①抛物线，当$a ＞ 0$时，它的开口向②上，且关于③$y$轴对称，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，它是图象的最④低点。在对称轴左侧，$y$随$x$的增大而⑤减小；在对称轴右侧，$y$随$x$的增大而⑥增大。

答案： ①抛物线 ②上 ③ $ y $ 轴 ④低 ⑤减小 ⑥增大

【例1】二次函数$y = 5x^{2}$的图象的顶点是$(0, 0)$，开口向上，对称轴是$y$轴；当$x$$＞ 0$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x$$＜ 0$时，$y$随$x$的增大而减小，顶点是最低点。

答案： 【例1】 $ (0, 0) $ 向上 $ y $ 轴 $ ＞ 0 $ $ ＜ 0 $ 低

对点训练1 下列关于函数$y = 3x^{2}$的性质表述正确的一项是(C)。
A. 无论$x$为任何实数，$y$的值总为正
B. 当$x$的值增大时，$y$的值也增大
C. 它的图象关于$y$轴对称
D. 它的图象在第一、三象限内

答案： 对点训练1 C

【例2】已知点$(-1,y_{1})$，$(2,y_{2})$，$(-3,y_{3})$都在函数$y = x^{2}$的图象上，则(A)。
A. $y_{1} ＜ y_{2} ＜ y_{3}$
B. $y_{1} ＜ y_{3} ＜ y_{2}$
C. $y_{3} ＜ y_{2} ＜ y_{1}$
D. $y_{2} ＜ y_{1} ＜ y_{3}$

答案： 【例2】 A

对点训练2 若点$(0,y_{1})$，$(1,y_{2})$，$(2,y_{3})$都在二次函数$y = x^{2}$的图象上，则(A)。
A. $y_{3} ＞ y_{2} ＞ y_{1}$
B. $y_{2} ＞ y_{1} ＞ y_{3}$
C. $y_{1} ＞ y_{3} ＞ y_{2}$
D. $y_{3} ＞ y_{1} ＞ y_{2}$

答案： 对点训练2 A

知识点2 当$a$为负数时，$y = ax^{2}$的图象与性质
二次函数$y = ax^{2}$的图象是一条⑦抛物线，当$a ＜ 0$时，它的开口向⑧下，且关于⑨$ y $轴对称，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，它是图象的最⑩高点。在对称轴左侧，$y$随$x$的增大而⑪增大，在对称轴右侧，$y$随$x$的增大而⑫减小。
$|a|$的大小决定抛物线开口的大小：$|a|$越大，抛物线的开口越小；$|a|$越小，抛物线的开口越大。

答案： ⑦抛物线 ⑧下 ⑨ $ y $ 轴 ⑩高 ⑪增大
⑫减小

【例3】二次函数$y = -\frac{1}{3}x^{2}$的图象的顶点是$(0, 0)$，开口向下，对称轴是$y$轴；当$x$$＞ 0$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x$$＜ 0$时，$y$随$x$的增大而增大，顶点是最高点。

答案： 【例3】 $ (0, 0) $ 向下 $ y $ 轴 $ ＞ 0 $ $ ＜ 0 $ 高

对点训练3 对于抛物线$y = -3x^{2}$，下列说法正确的是(D)。
A. 开口向上，对称轴是$x$轴
B. 开口向下，对称轴是$x$轴
C. 开口向上，对称轴是$y$轴
D. 开口向下，对称轴是$y$轴

答案： 对点训练3 D

【例4】已知$A(-1,y_{1})$，$B(-2,y_{2})$两点都在二次函数$y = -\frac{1}{3}x^{2}$的图象上，则(A)。
A. $y_{1} ＞ y_{2}$
B. $y_{1} ＜ y_{2}$
C. $y_{1} = y_{2}$
D. $y_{1} \geq y_{2}$

答案： 【例4】 A

对点训练4 已知$a ＞ 1$，点$A(a - 1,y_{1})$，$B(a,y_{2})$，$C(a + 1,y_{3})$都在二次函数$y = -2x^{2}$的图象上，则(C)。
A. $y_{1} ＜ y_{2} ＜ y_{3}$
B. $y_{1} ＜ y_{3} ＜ y_{2}$
C. $y_{3} ＜ y_{2} ＜ y_{1}$
D. $y_{2} ＜ y_{1} ＜ y_{3}$

答案： 对点训练4 C