《2025年广东名师讲练通九年级数学全一册北师大版深圳专版》

菱形的性质
(1)菱形的四条边①相等.
(2)菱形的对角线②互相垂直且互相平分.
(3)菱形既是③中心对称图形,又是④轴对称图形,有2条对称轴.

答案：  ①相等 ②互相垂直 ③中心 ④轴 

【例4】如图所示,在菱形ABCD中,E是BC上一点,且AE=AB,∠EAD=2∠BAE.
(1)求∠BAD的度数;108°
(2)求证:BE=BF.
证明:由(1)得∠BAD=108°，∠AEB=2×36°=72°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∴∠ABD=$\frac{1}{2}$×(180°−108°)=36°，
∴∠BFE=36°+36°=72°=∠AEB，∴BE=BF.

答案：
(1)解:
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD//BC，
∴∠AEB=∠EAD=2∠BAE.
∵AE=AB，
∴∠ABE=∠AEB=∠EAD=2∠BAE.
设∠BAE=x，则∠ABE=∠AEB=∠EAD=2x，
∵∠ABE+∠AEB+∠BAE=180°，
∴2x+2x+x=180°，
∴x=36°，
∴∠BAD=∠BAE+∠EAD=36°+2×36°=108°.
(2)证明:由
(1)得∠BAD=108°，∠AEB=2×36°=72°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，
∴∠ABD=$\frac{1}{2}$×(180°−108°)=36°，
∴∠BFE=36°+36°=72°=∠AEB，
∴BE=BF.

(1)有一组邻边⑤相等的⑥平行四边形是菱形;
(2)对角线互相⑦垂直的⑧平行四边形是菱形;
(3)四边⑨相等的⑩四边形是菱形.

答案： ⑤相等 ⑥平行四边形 ⑦垂直 ⑧平行四边形 ⑨相等 ⑩四边形 

(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//EC，∴∠ADF=∠DEB，∠DAB=∠ABE.
∵点F是AB的中点，∴AF=BF.
在△ADF和△BEF中，$\left\{ \begin{array} { l } { ∠ A D F = ∠ B E F , } \\ { ∠ D A F = ∠ E B F , } \\ { A F = B F , } \end{array} \right.$
∴△ADF≌△BEF(AAS)，∴AD=BE，
∴四边形AEBD是平行四边形.
又∵DB=DA，∴▱AEBD是菱形.
(2)解:∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=BD=$\sqrt{10}$，AB//DC，AB=DC=2.
∵▱AEBD是菱形，∴BE=BD=$\sqrt{10}$，DE⊥AB，
∴EC=EB+BC=2$\sqrt{10}$，DE⊥DC，
在Rt△CDE中，DE=$\sqrt { ( 2 \sqrt { 10 } ) ^ { 2 } - 2 ^ { 2 } }$=6，
∴S_{四边形AEBD}=$\frac{1}{2}$AB·DE=$\frac{1}{2}$×2×6=6.

答案：
(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//EC，
∴∠ADF=∠DEB，∠DAB=∠ABE.
∵点F是AB的中点，
∴AF=BF.
在△ADF和△BEF中，$\left\{ \begin{array} { l } { ∠ A D F = ∠ B E F , } \\ { ∠ D A F = ∠ E B F , } \\ { A F = B F , } \end{array} \right.$
∴△ADF≌△BEF(AAS)，
∴AD=BE，
∴四边形AEBD是平行四边形.
又
∵DB=DA，
∴▱AEBD是菱形.
(2)解:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=BD=$\sqrt{10}$，AB//DC，AB=DC=2.
∵▱AEBD是菱形，
∴BE=BD=$\sqrt{10}$，DE⊥AB，
∴EC=EB+BC=2$\sqrt{10}$，DE⊥DC，
在Rt△CDE中，DE=$\sqrt { ( 2 \sqrt { 10 } ) ^ { 2 } - 2 ^ { 2 } }$=6，
∴S_{四边形AEBD}=$\frac{1}{2}$AB·DE=$\frac{1}{2}$×2×6=6.

1.(2024秋·深圳校级月考)如图,菱形ABCD的周长为28,对角线AC,BD交于点O,E为AD的中点,则OE的长等于(B).

A. 2
B. 3.5
C. 7
D. 14

答案： B

2.已知一个菱形的周长是20cm,其中一条对角线长为8cm,则这个菱形的面积是(B).
A. 12cm²
B. 24cm²
C. 48cm²
D. 962cm²

答案： B