《2025年广东名师讲练通九年级数学全一册北师大版深圳专版》

知识点1 直接开平方解一元二次方程
利用①平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法.
类型:
(1)$x^{2}=n(n≥0)$直接开平方,得$x_{1}=\sqrt {n},x_{2}=-\sqrt {n};$
(2)$(x+m)^{2}=n(n≥0)$直接开平方,得$x_{1}=-m+\sqrt {n},x_{2}=-m-\sqrt {n};$
(3)$a(x+m)^{2}=b(ab≥0$且$a≠0)$变形得$(x+m)^{2}=\frac {b}{a}$,得$x_{1}=-m+\sqrt {\frac {b}{a}},x_{2}=-m-\sqrt {\frac {b}{a}}.$

答案： ①平方根

【例1】(2023·佛山一模)解方程:$(x-2)^{2}=4.$

答案： 【例1】 解：两边开平方，得$x - 2 = \pm 2$，
即$x = \pm 2 + 2$，$\therefore x_1 = 2 + 2 = 4$，$x_2 = - 2 + 2 = 0$，
$\therefore$方程的解为$x_1 = 4$，$x_2 = 0$。

对点训练1 解方程:$(x-1)^{2}=64.$

答案： 对点训练1 解：$x - 1 = \pm 8$，$x - 1 = 8$或$x - 1 = - 8$，解得$x_1 = 9$或$x_2 = - 7$。

【例2】(2024秋·福田区校级月考)解方程:$4x^{2}-9=0.$

答案： 【例2】 解：原式化简为$4x^2 = 9$，$x^2 = \frac{9}{4}$，
解得$x = \pm \frac{3}{2}$，$\therefore x_1 = \frac{3}{2}$，$x_2 = - \frac{3}{2}$。

知识点2 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
1. 通过配成②完全平方式的方法得到了一元二次方程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法.
2. 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的基本步骤:
(1)将常数项移到方程的③右边;
(2)方程两边都加上一次项系数④一半的平方,左边配成完全平方式;
(3)若方程的右边合并同类项后为⑤非负数,两边同时开方得方程的解.

答案： ②完全平方式 ③右边 ④一半的平方 ⑤非负数

对点训练2 (2024秋·福田区校级月考)解方程:$4(2x-1)^{2}=36.$

答案： 对点训练2 解：$4(2x - 1)^2 = 36$，$(2x - 1)^2 = 9$，
$2x - 1 = \pm 3$，$2x - 1 = 3$或$2x - 1 = - 3$，
解得$x = 2$或$x = - 1$。

【例3】(2024秋·深圳校级月考)一元二次方程$x^{2}-6x+5=0$配方后可化为(D).
A.$(x+3)^{2}=14$
B.$(x-3)^{2}=-4$
C.$(x+3)^{2}=-14$
D.$(x-3)^{2}=4$

答案： 【例3】 D

方程$x^{2}-2x-3=0$配方后可化成$(x+m)^{2}=n$的形式,则$m+n$的值为(C).
A. 5
B. 4
C. 3
D. 1

答案： 对点训练3 C