《2025年广东名师讲练通九年级数学全一册北师大版深圳专版》

6. 本学期，小颖经过一段时间的学习后，想利用所学的数学知识对某小区居民楼AB的高度进行测量.如图，先测得居民楼AB与CD之间的距离BD为28m，然后站在点M处测得居民楼CD的顶端C的仰角为45°，居民楼AB的顶端A的仰角为55°，已知居民楼CD的高度为14.6m，小颖的观测点N距地面1.6m，求居民楼AB的高度.（精确到1m，参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）

答案：
解:如图，过点N作NE⊥AB，垂足为E，延长EN交CD于点F，由题意，得BE = MN = DF = 1.6m，EF = BD = 28m，EF⊥CD，

∵CD = 14.6m，
∴CF = CD - DF = 14.6 - 1.6 = 13(m)。
在Rt△CFN中，∠CNF = 45°，
∴NF = $\frac{CF}{\tan45°}$ = 13m，
∴EN = EF - NF = 28 - 13 = 15(m)。
在Rt△AEN中，∠ANE = 55°，
∴AE = EN·tan55° ≈ 15×1.43 = 21.45(m)，
∴AB = AE + BE = 21.45 + 1.6 ≈ 23(m)，
即居民楼AB的高度约为23m。

7. 如图，某工程队准备在山坡(山坡视为直线l)上修一条路，需要测量山坡的坡度，即tanα的值.测量员在山坡上的P处(不计此人身高)观察对面山顶上的一座铁塔，测得塔尖C的仰角为37°，塔底B的仰角为26.6°.已知塔高BC=45m，塔所在的山高OB=130m，OA=100m，图中的点O，B，C，A，P在同一平面内，求山坡的坡度.(参考数据：sin26.6°≈0.45，tan26.6°≈0.50，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75)

答案：
解:如图，过点P作PD⊥OC于点D，PE⊥OA于点E，

则四边形ODPE为矩形。
在Rt△PBD中，
∵∠BDP = 90°，∠BPD = 26.6°，
∴BD = PD·tan∠BPD = PD·tan26.6°。
在Rt△CPD中，
∵∠CDP = 90°，∠CPD = 37°，
∴CD = PD·tan∠CPD = PD·tan37°。
∵CD - BD = BC，
∴PD·tan37° - PD·tan26.6° = 45，
∴0.75PD - 0.50PD ≈ 45，解得PD = 180m，
∴BD = PD·tan26.6° ≈ 180×0.50 = 90(m)。
∵OB = 130m，
∴PE = OD = OB - BD = 40m。
∵OE = PD = 180m，
∴AE = OE - OA = 180 - 100 = 80(m)，
∴tanα = $\frac{PE}{AE}$ = $\frac{40}{80}$ = $\frac{1}{2}$，
∴山坡的坡度为1:2。