《2025年广东名师讲练通九年级数学全一册北师大版深圳专版》

5. (2024·光明区二模)2024年是农历甲辰龙年，含有“龙”元素的饰品深受大众喜爱.商场购进一批单价为70元的“吉祥龙”公仔，并以每个80元售出.由于销售火爆，公仔的销售单价经过两次调整后，上涨到每个125元，此时每天可售出75个.
(1)若销售单价每次上涨的百分率相同，求该百分率；
(2)市场调查发现：销售单价每降低1元，其销售量相应增加5个.那么销售单价应降低多少，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？

答案： 解：（1）由题意，设每次上涨的百分率为$m$，
依题意，得$80(1+m)^{2}=125$，
解得$m_{1}=0.25=25\%$，$m_{2}=-2.25$（不合题意，舍去）．
答：每次上涨的百分率为25%．
（2）由题意，设每个售价为$x$元，
$\therefore$每天的利润$w=(x-70)[75+5(125-x)]$
$=(x-70)(700-5x)=-5x^{2}+1050x-49000$
$=-5(x-105)^{2}+6125$．
$\therefore$当$x=105$时，每天的最大利润为6125．
$\therefore$每个应降价$(125-105)$元，即每个应降价20元．
答：每个应降价20元，才能使每天利润达到最大，最大利润为6125元．

6. (2023·罗湖区八校联考)某公司电商平台在2021年国庆期间举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量y(件)是关于售价x(元/件)的一次函数.已知，当x=50时，y=200；当x=80时，y=140.
(1)求y与x的函数表达式(不要求写出自变量的取值范围).
解：设$y=kx+b$，由题意，得$\left\{\begin{array}{l} 50k+b=200,\\ 80k+b=140,\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l} k=-2,\\ b=300,\end{array}\right.$所以$y$与$x$的函数表达式为$y=-2x+300$．
(2)若该商品的进价为30元/件.
①当售价x为多少元/件时，周销售利润W最大？并求出此时的最大利润；
解：由题意得$W=(-2x+300)(x-30)=-2x^{2}+360x-9000=-2(x-90)^{2}+7200$，所以当$x=90$时，周销售利润$W$最大，最大利润为7200元．
②因原料涨价，该商品进价提高了a元/件(a＞0)，公司为回馈消费者，规定该商品售价x不得超过75元/件，且该商品在今后的销售中，周销售量y与售价x仍满足(1)中的函数关系，若周销售最大利润是6000元，求a的值.
解：由题意得$W=-2(x-150)(x-30-a)(x≤75)$，其对称轴为直线$x=90+\frac {a}{2}＞90$，$\therefore 30≤x≤75$时，$W$的值随$x$值的增大而增大，
$\therefore$当$x=75$时周销售利润最大，$\therefore 6000=-2×(75-150)\cdot (75-30-a)$，$\therefore a=5$．

答案： 解：（1）设$y=kx+b$，由题意，得$\left\{\begin{array}{l} 50k+b=200,\\ 80k+b=140,\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l} k=-2,\\ b=300,\end{array}\right.$所以$y$与$x$的函数表达式为$y=-2x+300$．
（2）①由题意得$W=(-2x+300)(x-30)=-2x^{2}+360x-9000=-2(x-90)^{2}+7200$，所以当$x=90$时，周销售利润$W$最大，最大利润为7200元．
②由题意得$W=-2(x-150)(x-30-a)(x≤75)$，其对称轴为直线$x=90+\frac {a}{2}＞90$，$\therefore 30≤x≤75$时，$W$的值随$x$值的增大而增大，
$\therefore$当$x=75$时周销售利润最大，$\therefore 6000=-2×(75-150)\cdot (75-30-a)$，$\therefore a=5$．