《2025年广东名师讲练通九年级数学全一册北师大版深圳专版》

知识点 因式分解法
1. 当一元二次方程的一边为 0，而另一边易于分解成①两个一次因式的乘积时，这种解一元二次方程的方法称为②因式分解法.
2. 用因式分解法求解一元二次方程的一般步骤：
(1) 若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零.
(2) 把方程的左边因式分解.
(3) 令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程.
(4) 解出这两个一元一次方程的解即可得到原方程的两个解.
注意：用因式分解法解方程时，必须化成$(x + a)(x + b) = 0$的形式，否则不能用此法.

答案： ①两个一次因式 ②因式分解法

答案： C

答案： 解：对于方程$x^{2}+3x = 0$，提取公因式$x$得$x(x + 3)=0$。
根据“若$ab = 0$，则$a = 0$或$b = 0$”，可得$x = 0$或$x + 3 = 0$。
由$x + 3 = 0$，解得$x=-3$。
所以方程$x^{2}+3x = 0$的解是$x_{1}=0$，$x_{2}=-3$。
答案选C。

答案：

答案：

方程$(x - 1)(x + 3) = 0$的根是$x_{1}=1$，$x_{2}=-3$.

答案： 本题可根据“若两个数的乘积为$0$，则至少其中一个数为$0$”这一性质来求解方程的根。
- **步骤一：根据性质列方程
已知方程$(x - 1)(x + 3) = 0$，根据“若$ab = 0$，则$a = 0$或$b = 0$”（其中$a=x - 1$，$b=x + 3$），可得$x - 1 = 0$或$x + 3 = 0$。
- **步骤二：分别求解上述方程
求解方程$x - 1 = 0$：
方程两边同时加$1$，可得$x - 1 + 1 = 0 + 1$，即$x = 1$。
求解方程$x + 3 = 0$：
方程两边同时减$3$，可得$x + 3 - 3 = 0 - 3$，即$x = - 3$。
综上，方程$(x - 1)(x + 3) = 0$的根是$x_{1}=1$，$x_{2}=-3$。
故答案为$x_{1}=1$，$x_{2}=-3$。

方程$x(x - 2) = 3(x - 2)$的根为$x_{1}=3$，$x_{2}=2$.

答案： $x_{1}=3$，$x_{2}=2$

对点训练3 解方程：$x(x - 4) = x - 4$.

答案： 解：
$x(x - 4) = x - 4$
移项得$x(x - 4)-(x - 4)=0$
提取公因式$(x - 4)$得$(x - 4)(x - 1)=0$
则$x - 4 = 0$或$x - 1 = 0$
解得$x_1 = 4$，$x_2 = 1$。

对点训练4 解方程：$2y^{2} - 9y + 5 = 0$.

答案： 解：对于一元二次方程$2y^{2}-9y + 5 = 0$，其中$a = 2$，$b = -9$，$c = 5$。
根据求根公式$y=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，先计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac$：
$\Delta=(-9)^{2}-4×2×5$
$=81 - 40$
$= 41$
再将$a$、$b$、$\Delta$的值代入求根公式：
$y=\frac{9\pm\sqrt{41}}{2×2}=\frac{9\pm\sqrt{41}}{4}$
所以方程$2y^{2}-9y + 5 = 0$的解为$y_{1}=\frac{9 + \sqrt{41}}{4}$，$y_{2}=\frac{9 - \sqrt{41}}{4}$。