《2025年广东名师讲练通九年级数学全一册北师大版深圳专版》

5. 如图，对称轴为直线$x=\frac{1}{2}$的抛物线经过$B(2,0),C(0,4)$两点，抛物线与$x$轴的另一个交点为$A$.
(1)求抛物线的表达式；
(2)若点$P$为第一象限内抛物线上的一点，设四边形$COBP$的面积为$S$，求$S$的最大值.

(1)抛物线的表达式为$y = -2x^{2}+2x + 4$。
(2)$S$的最大值为6。

答案： 5. 解:　
(1)由对称性，得$A(-1,0)$，设抛物线的表达式为$y = a(x + 1)(x - 2)$，把$C(0,4)$的坐标代入，得$4 = -2a$，解得$a = -2$，
∴$y = -2(x + 1)(x - 2)$，
∴抛物线的表达式为$y = -2x^{2}+2x + 4$。
(2)设点$P(m,-2m^{2}+2m + 4)$，过点$P$作$PD\perp x$轴，垂足为$D$，如图，
∴$S = -2m^{2}+4m + 4 = -2(m - 1)^{2}+6$，
∴当$m = 1$时，$S$有最大值，且$S_{\max}=6$。

6. 如图，抛物线$y = ax^{2}+bx + c$与$x$轴交于点$A(1,0),B(3,0)$，且过点$C(0,-3)$.
(1)求抛物线的表达式和顶点坐标；
抛物线的表达式为$y = -x^{2}+4x - 3$，顶点坐标为$(2,1)$
(2)请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线$y = -x$上，并写出平移后抛物线的表达式.
平移方法：先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，平移后抛物线的表达式为$y = -x^{2}$（答案不唯一）

答案： 6. 解:　
(1)
∵抛物线与$x$轴交于点$A(1,0)$，$B(3,0)$，
∴设抛物线的表达式为$y = a(x - 1)(x - 3)$，把$C(0,-3)$的坐标代入得$3a = -3$，解得$a = -1$，故抛物线的表达式为$y = -(x - 1)(x - 3)$，即$y = -x^{2}+4x - 3$。
∵$y = -x^{2}+4x - 3 = -(x - 2)^{2}+1$，
∴顶点坐标为$(2,1)$。
(2)先向左平移$2$个单位，再向下平移$1$个单位，得到的抛物线的表达式为$y = -x^{2}$，平移后抛物线的顶点坐标为$(0,0)$，顶点在直线$y = -x$上（答案不唯一）。

7. 如图，抛物线$y = -x^{2}+4x + 2$的顶点为$D$，$E(4,m)$在抛物线上，点$Q$在$x$轴上，点$P$在抛物线上，当以$D,E,P,Q$为顶点的四边形是以$DE$为边的平行四边形时，求点$P$的坐标.

点$P$的坐标为$(2-\sqrt{10},-4)$，$(2+\sqrt{10},-4)$，$(2-\sqrt{2},4)$，$(2+\sqrt{2},4)$.

答案： 7. 解:易得$D(2,6)$，$E(4,2)$，过点$P$作$PH\perp x$轴于点$H$，过点$D$，$E$分别作$y$轴，$x$轴的平行线，两直线交于点$G$。$\triangle PHQ\cong\triangle DGE$，$PH = DG = 4$，
∴$|y_{P}|=\pm4$。
当$y = -4$时，$-x^{2}+4x + 2 = -4$，
∴$x_{1}=2-\sqrt{10}$，$x_{2}=2+\sqrt{10}$，
∴$P_{1}(2-\sqrt{10},-4)$，$P_{2}(2+\sqrt{10},-4)$；
当$y = 4$时，$-x^{2}+4x + 2 = 4$，
∴$x_{1}=2-\sqrt{2}$，$x_{2}=2+\sqrt{2}$。
∴$P_{3}(2-\sqrt{2},4)$，$P_{4}(2+\sqrt{2},4)$。