《2025年广东名师讲练通九年级数学全一册北师大版深圳专版》

3. 对角线长为4cm的正方形，边长为（B）。
A. 2cm
B. $2\sqrt{2}cm$
C. 4cm
D. $4\sqrt{2}cm$

答案： B

4. （2024秋·龙岗区校级月考）图（1）的杜岭二号方鼎是河南博物院九大镇院之宝之一，方鼎的口呈正方形（如图（2）），正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，则下列说法不正确的是（B）。 

A. AC⊥BD
B. AD=AO
C. DO=CO
D. $\angle DAO = \angle BAC$

答案： B

5. （2024秋·罗湖区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为正方形，点C的坐标为（3，2），则点A的坐标为（B）。

A. （-2，2）
B. （-2，3）
C. （-3，2）
D. （-3，3）

答案： B

6. 如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，且BP=BC，则$\angle ACP$=22.5°。

答案： 22.5°

7. 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC和CD上，且$\triangle AEF$为等边三角形。
（1）求证：CE=CF；
（2）若AE=4，求AC的长。

答案：

(1)证明:
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD,
∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°,
∵△AEF为等边三角形，
∴AE=EF=AF.
在Rt△ABE和Rt△ADF中，$\begin{cases} AE=AF, \\ AB=AD, \end{cases}$
∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL)，
∴BE=DF，
∴CE=CF;

(2)解:设AC交EF于点G，如图，
∵AE=AF,CE=CF,
∴AC垂直平分EF，且△CEF是等腰直角三角形.
∵∠EAC=30°，AE=4，
∴EG=2,AG=$\sqrt{4^{2}-2^{2}}$=2$\sqrt{3}$
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ECG=45°，
∴△CEG是等腰直角三角形，
∴EG=CG=2,
∴AC=CG+AG=2+2$\sqrt{3}$