《2025年广东名师讲练通九年级数学全一册北师大版深圳专版》

【例2】(教材P17随堂练习改编)在$Rt△ABC$中，$∠C = 90°$，$a$，$b$，$c$分别为$∠A$，$∠B$，$∠C$的对边，根据下列条件解直角三角形.
(1)$∠A = 30°$，$c = 6$；
解:　在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
∴∠B=60°，sinA=$\frac{a}{c}$=$\frac{1}{2}$.
∵c=6，∴a=3.∴b=$\sqrt{c^{2}-a^{2}}$=3$\sqrt{3}$
(2)$a = 2$，$c = 2\sqrt{2}$.
解:　在Rt△ABC中，∠C=90°，a=2，c=2$\sqrt{2}$
∴sinA=$\frac{a}{c}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴∠A=45°.
∴∠B=90°−∠A=45°.∴b=a=2.

答案： 解:　
(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
∴∠B=60°，sinA=$\frac{a}{c}$=$\frac{1}{2}$.
∵c=6，
∴a=3.
∴b=$\sqrt{c^{2}-a^{2}}$=3$\sqrt{3}$
(2)在Rt△ABC中，∠C=90°，a=2，c=2$\sqrt{2}$
∴sinA=$\frac{a}{c}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠A=45°.
∴∠B=90°−∠A=45°.
∴b=a=2.

对点训练2 如图，在$△ABC$中，$∠C = 90°$，$D$为边$BC$上的一点，$BC = 6$，$\tan B = \frac{2}{3}$.
(1)求$AC$的长.4
(2)若$AC - CD = 2$，求$\sin∠CAD$的值.$\frac{\sqrt{5}}{5}$

答案： 解:　
(1)在△ABC中，∠C=90°，BC=6，tanB=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{AC}{BC}$=$\frac{AC}{6}$=$\frac{2}{3}$，
∴AC=4.
(2)
∵AC=4，AC−CD=2，
∴CD=2.
∴AD=$\sqrt{AC^{2}+CD^{2}}$=2$\sqrt{5}$
∴sin∠CAD=$\frac{CD}{AD}$=$\frac{2}{2\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$.

1. 在$Rt△ABC$中，$∠C = 90°$，$AC = 1$，$BC = \sqrt{3}$，则$∠B$的度数为(B).
A. $25°$
B. $30°$
C. $45°$
D. $60°$

答案： 1. B

2. 在$Rt△ABC$中，$∠C = 90°$，$\cos A = \frac{\sqrt{3}}{2}$，$AC = \sqrt{3}$，则$BC$的长为(B).
A. $\sqrt{3}$
B. 1
C. 2
D. 3

答案： 2. B

3. 在直角三角形$ABC$中，已知$∠C = 90°$，$∠A = 40°$，$BC = 3$，则$AC$的长为(D).
A. $3\sin 40°$
B. $3\sin 50°$
C. $3\tan 40°$
D. $3\tan 50°$

答案： 3. D

4. 如图，在$Rt△ABC$中，$∠C = 90°$，点$D$和点$E$分别是边$BC$和$AB$上的点，$DE⊥AB$，$\sin B = \frac{4}{5}$，$AC = 8$，$CD = 2$，则$DE$的长为(D).

A. 4.8
B. 4.5
C. 4
D. 3.2

答案： 4. D

5. 如图，在$△ABC$中，$∠A = 30°$，$∠B = 45°$，$AC = 2\sqrt{3}$，则$AB$的长为3+$\sqrt{3}$.

答案： 5. 3+$\sqrt{3}$

6. 如图，在$△ABC$中，$AB = AC = 5$，$\sin B = \frac{4}{5}$，求$BC$的长.

解:如图，过点A作BC的垂线，垂足为M，
在Rt△ABM中，
sinB=$\frac{AM}{AB}$，
∴AM=5×$\frac{4}{5}$=4.
∴BM=$\sqrt{5^{2}-4^{2}}$=3.
又∵AB=AC
∴BC=2BM=6.

答案： 解:如图，过点A作BC的垂线，垂足为M，
在Rt△ABM中，
sinB=$\frac{AM}{AB}$，
∴AM=5×$\frac{4}{5}$=4.
∴BM=$\sqrt{5^{2}-4^{2}}$=3.
又
∵AB=AC
∴BC=2BM=6.