《2025年广东名师讲练通九年级数学全一册北师大版深圳专版》

知识点1 锐角三角函数的定义
如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle A$的正弦：$\sin A=\frac{\angle A的对边}{斜边}=$①$\frac {a}{c}$；$\angle A$的余弦：$\cos A=\frac{\angle A的邻边}{斜边}=$②$\frac {b}{c}$．锐角$\angle A$的正弦、余弦和正切都是$\angle A$的③三角函数．
特别说明：1. 正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中定义的，其本质是两条线段的比值，它只是一个数值，其大小只与锐角的大小有关，而与所在直角三角形的大小无关；
2. 对于锐角$\angle A$的每一个确定的值，$\sin A$都有唯一确定的值与它对应，所以$\sin A$是$\angle A$的函数．同样，$\cos A$，$\tan A$也是$\angle A$的函数，其中$\angle A$是自变量，$\sin A$，$\cos A$，$\tan A$分别是对应的函数．其中自变量$\angle A$的取值范围是$0^{\circ}＜\angle A＜90^{\circ}$，函数值的取值范围是$0＜\sin A＜1$，$0＜\cos A＜1$，$\tan A＞0$．

答案： ①$\frac {a}{c}$ ②$\frac {b}{c}$ ③三角函数

【例1】(教材P5例题改编)如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle B = 90^{\circ}$，$AC = 200$，$\sin A = 0.6$，求$BC$的长．

解:在$Rt△ABC$中，$\because sinA=\frac {BC}{AC}$，即$\frac {BC}{200}=0.6$，
$\therefore BC=200×0.6=$120．

答案： 解:在$Rt△ABC$中，$\because sinA=\frac {BC}{AC}$，即$\frac {BC}{200}=0.6$，
$\therefore BC=200×0.6=120$．

在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AB = 5$，$BC = 3$，则$\cos A$的值是(D)．
A. $\frac{3}{4}$
B. $\frac{4}{3}$
C. $\frac{3}{5}$
D. $\frac{4}{5}$

答案： D

知识点2 三角函数与物体倾斜程度的关系
$\sin A$的值越大，梯子越④陡．
$\cos A$的值越⑤小，梯子越陡．
特别说明：从理论上讲，梯子倾斜角的正弦和余弦都可以刻画梯子的倾斜程度，但实际中通常使用正切．

答案： ④陡　⑤小

【例2】如图，梯子与地面的夹角为$\angle A$，关于$\angle A$的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系，下列叙述正确的是(C)．
A. 梯子的长度决定倾斜程度
B. $\sin A$的值越小，梯子越陡
C. $\cos A$的值越小，梯子越陡
D. 梯子的倾斜程度与$\angle A$的三角函数值无关

答案： C

对点训练2 如图，甲、乙表示两个楼梯，求$\tan A$$\frac{3}{4}$，$\sin A$$\frac{3}{5}$，$\cos A$$\frac{4}{5}$，$\tan D$$\frac{5}{12}$，$\sin D$$\frac{5}{13}$，$\cos D$$\frac{12}{13}$的值，并比较两个楼梯中哪一个更陡．甲楼梯更陡．

答案： 解:在甲楼梯中，$AB=\sqrt {BC^{2}+AC^{2}}=\sqrt {6^{2}+8^{2}}=10(m)$，
$\therefore tanA=\frac {3}{4}$，$sinA=\frac {3}{5}$，$cosA=\frac {4}{5}$．
在乙楼梯中，$FD=\sqrt {ED^{2}-EF^{2}}=\sqrt {13^{2}-5^{2}}=12(m)$，
$\therefore tanD=\frac {5}{12}$，$sinD=\frac {5}{13}$，$cosD=\frac {12}{13}$．
$\because sinA=\frac {3}{5}$，$sinD=\frac {5}{13}$，$\therefore sinA＞sinD$，$\therefore$甲楼梯更陡．