《2025年广东名师讲练通九年级数学全一册北师大版深圳专版》

知识点1 定理1 ①两角分别相等的两个三角形相似.
几何语言:如图,$\because \angle A=\angle A',\angle B=\angle B',\therefore \triangle ABC\backsim \triangle A'B'C'.$
特别说明:证明三角形相似的判定定理,关键是利用转化的数学思想,结合平行线分线段成比例,通过作辅助线,把一个三角形转移、构建到另一个三角形中,然后利用相似三角形的定义证明相似三角形的判定定理.

答案： 两角分别相等

【例1】(根据九年级北师大版教材P99定理证明改编)如图,在$\triangle ABC$和$\triangle A'B'C'$中,$\angle A=\angle A',\angle B=\angle B'$.求证:$\triangle ABC\backsim \triangle A'B'C'.$

请补全下面的证明过程.
证明:在$\triangle ABC$的边$AB$上截取$AD=A'B'$,过点$D$作$DE// BC$,交$AC$于点$E$,则$\angle 1=\angle B,\angle 2=\angle C,\frac {AD}{AB}=\frac {AE}{AC}$.过点$D$作$DF// AC$,交$BC$于点$F$,则$\frac {AD}{AB}=\frac {CF}{CB}.\therefore $$\frac { A E } { A C } = \frac { C F } { C B }$.
$\because DE// BC,DF// AC,$
$\therefore$ 四边形$DFCE$是平行四边形.
$\therefore DE=CF.\therefore $$\frac { A E } { A C } = \frac { D E } { C B }$,$\therefore $$\frac { A D } { A B } = \frac { A E } { A C } = \frac { D E } { C B }$.
而$\angle 1=\angle B,\angle DAE=\angle BAC,\angle 2=\angle C,$
$\therefore \triangle ADE\backsim \triangle ABC.$
$\because \angle A=\angle A',AD=A'B',\angle 1=\angle B=\angle B',$
$\therefore \triangle$$A D E$$\cong \triangle$$A ^ { \prime } B ^ { \prime } C ^ { \prime }$($A S A$).
$\therefore \triangle ABC\backsim \triangle A'B'C'.$

答案： $\frac { A E } { A C } = \frac { C F } { C B }$ $\frac { A E } { A C } = \frac { D E } { C B }$ $\frac { A D } { A B } = \frac { A E } { A C } = \frac { D E } { C B }$ $A D E$ $A ^ { \prime } B ^ { \prime } C ^ { \prime }$ $A S A$

对点训练1 如图,点$M$为线段$AB$的中点,$AE$与$BD$交于点$C$,$\angle DME=\angle A=\angle B$,且$DM$交$AC$于点$F$,$ME$交$BC$于点$G$.写出图中所有的相似三角形$\triangle A M F \backsim \triangle B G M$，$\triangle D M G \backsim \triangle D B M$，$\triangle E M F \backsim \triangle E A M$,并选择一对加以证明.

答案： 解：图中的相似三角形有$\triangle A M F \backsim \triangle B G M$，$\triangle D M G \backsim \triangle D B M$，$\triangle E M F \backsim \triangle E A M$。
以下证明$\triangle A M F \backsim \triangle B G M$。
$\because \angle A F M = \angle D M E + \angle E$（外角定理），$\angle D M E = \angle A = \angle B$（已知），$\therefore \angle A F M = \angle D M E + \angle E = \angle A + \angle E = \angle B M G$。又$\angle A = \angle B$，$\therefore \triangle A M F \backsim \triangle B G M$。

知识点2 定理2 ②两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
几何语言:如图,$\because \frac {AB}{A'B'}=\frac {AC}{A'C'},\angle A=\angle A',\therefore \triangle ABC\backsim \triangle A'B'C'.$
特别说明:相似三角形的判定定理2是利用判定定理1证明的,都是通过作辅助线,把一个三角形转移、构建到另一个三角形中,然后运用刚刚证明的相似三角形的判定定理1来证明本判定定理.

答案： 两边成比例且夹角相等