《2025年广东名师讲练通九年级数学全一册北师大版深圳专版》

1. 下列叙述错误的是(B)。
A. 平行四边形的对角线互相平分
B. 平行四边形的四个内角相等
C. 矩形的对角线相等
D. 有一个角是90°的平行四边形是矩形

答案： B

2. 木匠师傅在做门窗时，不仅要测量门窗两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形。其中的道理是(B)。
A. 有三个角是直角的四边形是矩形
B. 对角线相等的平行四边形是矩形
C. 有一个角是直角的平行四边形是矩形
D. 对角线相等的四边形是矩形

答案： B

3. (2024·光明区二模)如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O。如果添加一个条件，使得□ABCD是矩形，那么这个条件可以是(B)。

A. AB=AD
B. AO=BO
C. AC⊥BD
D. AO=CO

答案： B

4. 如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA=2，若要使□ABCD为矩形，则OB的长应该为(C)。

A. 4
B. 3
C. 2
D. 1

答案： C

5. 如图，在矩形ABCD中，∠BAC=60°，以点A为圆心，以小于AB的长为半径作弧分别交AB，AC于M，N两点，再分别以点M，N为圆心，以大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径作弧交于点P，作射线AP交BC于点E。若BE=1，则矩形ABCD的面积等于3$\sqrt{3}$。

答案： 3$\sqrt{3}$　解析：由题可知AP是∠BAC的平分线，
∵∠BAC=60°，
∴∠BAE=∠EAC=30°，
∴AE=2BE=2，
∴AB=$\sqrt{3}$，
∴∠AEB=60°.又
∵∠AEB=∠EAC+∠ECA，
∴∠EAC=∠ECA=30°，
∴AE=EC=2，
∴BC=3，
∴S_{矩形ABCD}=3$\sqrt{3}$.

6. 如图，已知在矩形ABCD中，AB=6，M为对角线AC上的一动点，ME⊥CD于点E，MF⊥AD于点F，连接EF。若矩形的面积是48，则EF的最小值为____4.8。

答案： 4.8　解析：如图所示，连接MD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B =∠ADC=90°，AB=CD=6，BC=AD.
∵矩形的面积是48，
∴BC=48÷6=8.
∵ME⊥CD，MF⊥AD，
∴∠MED=∠MFD=90°，
∴四边形MEDF是矩形，
∴DM=EF.若EF的值最小，则MD的值最小.
∵S_{△ACD}=$\frac{1}{2}$DM·AC=$\frac{1}{2}$AD·CD，
∴DM =$\frac{AD·CD}{AC}$=$\frac{8×6}{10}$=4.8.

7. (2024秋·福田区校级期中)如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABD=∠CDB，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，且BE=DF。
(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；
(2)若AB=BO，当∠ABE等于多少度时，四边形ABCD是矩形？30°

答案：
(1)证明：
∵∠ABD=∠CDB，
∴AB//CD，
∴∠BAE=∠DCF.
∵BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠AEB=∠CFD=90°.
在△ABE和△CDF中，$\begin{cases}∠BAE = ∠DCF\\∠AEB = ∠CFD\\BE = DF\end{cases}$
∴△ABE≌△CDF(AAS)，
∴AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
(2)解：当∠ABE=30°时，四边形ABCD是矩形，理由如下：
∵AB=BO，BE⊥AO，
∴∠ABO=2∠ABE=60°，
∴△ABO是等边三角形，
∴AO=BO.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC=2AO，BD=2BO，
∴AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形.