《2025年广东名师讲练通九年级数学全一册北师大版深圳专版》

1. 设 $ x _ { 1 } , x _ { 2 } $ 是方程 $ x ^ { 2 } + 3 x - 9 = 0 $ 的两个实数根，则 $ x _ { 1 } + x _ { 2 } $ 的值为（C）。
A. 3
B. 9
C. -3
D. -9

答案： C

2. （2024·龙岗区校级模拟）已知 $ x _ { 1 } , x _ { 2 } $ 是一元二次方程 $ x ^ { 2 } - 6 x + 8 = 0 $ 的两根，则 $ x _ { 1 } + x _ { 2 } - x _ { 1 } x _ { 2 } = $-2。

答案： -2

3. 已知 -1 是方程 $ x ^ { 2 } + b x - 5 = 0 $ 的一个根，则另一个根是5。

答案： $x=5$

4. 已知 $ x _ { 1 } , x _ { 2 } $ 是一元二次方程 $ x ^ { 2 } + a x + b = 0 $ 的两根，且 $ x _ { 1 } + x _ { 2 } = 3 $，$ x _ { 1 } x _ { 2 } = 1 $，则 $ a , b $ 的值分别是 $ a = $-3，$ b = $1。

答案： -3 1

5. （2024·南山区二模）若 $ a , b $ 是关于 $ x $ 的方程 $ x ^ { 2 } - 2 x - 2022 = 0 $ 的两个实数根，则 $ a ^ { 2 } - 3 a - b = $2020。

答案： 2020 解析：$\because a$，$b$是方程$x^{2}-2x-2022=0$的两根，
$\therefore a^{2}-2a-2022=0$，$a+b=2$，$\therefore a^{2}-2a=2022$，
$\therefore a^{2}-3a-b=a^{2}-2a-(a+b)=2022-2=2020$.
故答案为 2020.

6. 在等腰 $ \triangle A B C $ 中，三边分别为 $ a , b , c $，其中 $ a = 2 $，若关于 $ x $ 的方程 $ x ^ { 2 } + ( b - 1 ) x + b - 1 = 0 $ 有两个相等的实数根，则 $ \triangle A B C $ 的周长是____5 或 12。

答案： 5 或 12 解析：根据题意得$\Delta =(b-1)^{2}-4(b-1)=0$，解得$b=1$或 5. 当$a=2$，$b=1$，$c=2$时，$\triangle ABC$的周长$=2+2+1=5$；当$a=2$，$b=1$，$c=1$时，不符合三角形三边的关系，舍去；当$a=2$，$b=5$，$c=5$时，$\triangle ABC$的周长$=2+5+5=12$；当$a=2$，$b=5$，$c=2$时，不符合三角形三边的关系，舍去. 综上所述，$\triangle ABC$的周长为 5 或 12.

7. 关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x ^ { 2 } - 4 x - 2 m + 5 = 0 $ 有两个实数根 $ x _ { 1 } , x _ { 2 } $，并且 $ x _ { 1 } \neq x _ { 2 } $。
（1）求实数 $ m $ 的取值范围；$m＞\frac {1}{2}$
（2）若 $ x _ { 1 } , x _ { 2 } $ 满足 $ x _ { 1 } x _ { 2 } + x _ { 1 } + x _ { 2 } = m ^ { 2 } + 6 $，求 $ m $ 的值。$m=1$

答案： 解：（1）$\because$方程有两个实数根$x_{1}$，$x_{2}$，并且$x_{1}≠x_{2}$，
$\therefore (-4)^{2}-4×1×(-2m+5)＞0$，$\therefore m＞\frac {1}{2}$.
（2）$\because x_{1}$，$x_{2}$是该方程的两个根，
$\therefore x_{1}+x_{2}=4$，$x_{1}x_{2}=-2m+5$.
$\because x_{1}x_{2}+x_{1}+x_{2}=m^{2}+6$，
$\therefore -2m+5+4=m^{2}+6$，解得$m=-3$或$m=1$.
$\because m＞\frac {1}{2}$，$\therefore m=1$.

8. 已知 $ \square A B C D $ 的两邻边 $ A B , A D $ 的长是关于 $ x $ 的方程 $ x ^ { 2 } - m x + 2 m = 0 $ 的两个实数根。
（1）当 $ m $ 为何值时，$ \square A B C D $ 是菱形？
（2）若 $ A B $ 的长为 3，求 $ \square A B C D $ 的周长。

答案： 解：（1）当$AB=AD$时，$//ogram ABCD$是菱形，
即$AB$，$AD$的长是关于$x$的方程$x^{2}-mx+2m=0$的两个相等的实数根，
$\therefore \Delta =(-m)^{2}-4×2m=0$，解得$m_{1}=0$，$m_{2}=8$.
$\because AB+AD=m＞0$，$AB\cdot AD=2m＞0$，$\therefore m$的值为 8.
（2）$\because AB=3$，$\therefore 3+AD=m$，$3AD=2m$，
$\therefore 3+AD=\frac {3}{2}AD$，解得$AD=6$，
$\therefore //ogram ABCD$的周长$=2×(3+6)=18$.