《2025年广东名师讲练通九年级数学全一册北师大版深圳专版》

13. 已知实数$m$，$n$满足$m-n^{2}=8$，求代数式$m^{2}-3n^{2}+m-14$的最小值．

答案： 解：$\because m-n^{2}=8$，$\therefore n^{2}=m-8$，$m≥8$，则$m^{2}-3n^{2}+m-14=m^{2}-3(m-8)+m-14=m^{2}-3m+24+m-14=m^{2}-2m+10=(m-1)^{2}+9$，$\because m≥8$，$\therefore$当$m=8$时取得最小值，最小值为$(8-1)^{2}+9=58$。

14. (2023春·河源期末)阅读理解：求代数式$x^{2}+6x+10$的最小值．
解：因为$x^{2}+6x+10=(x^{2}+6x+9)+1=(x+3)^{2}+1$，
所以当$x=-3$时，代数式$x^{2}+6x+10$有最小值，最小值是1．
仿照应用求值：
(1)求代数式$x^{2}+2x+10$的最小值；
解：由题意可得$x^{2}+2x+10=(x^{2}+2x+1)+9=(x+1)^{2}+9$，$\because (x+1)^{2}≥0$，$\therefore (x+1)^{2}+9≥9$，
$\therefore$当$x=-1$时，代数式$x^{2}+2x+10$有最小值，最小值是$9$。
(2)求代数式$-m^{2}+8m+3$的最大值；
解：由题意可得，$-m^{2}+8m+3=-(m^{2}-8m+16)+3+16=-(m-4)^{2}+19$，
$\because (m-4)^{2}≥0$，$\therefore -(m-4)^{2}+19≤19$，
$\therefore$当$m=4$时，代数式$-m^{2}+8m+3$有最大值，最大值为$19$。
(3)某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15m)的空地上建一个长方形花园$ABCD$，花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成．如图，设$AB=x(\mathrm{m})$，请问：当$x$取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？
解：由题意，得花园的面积是$x(20-2x)=-2x^{2}+20x$，
$\because -2x^{2}+20x=-2(x-5)^{2}+50$，$-2(x-5)^{2}≤0$，
$\therefore -2(x-5)^{2}+50≤50$，
$\therefore -2x^{2}+20x$的最大值是$50$，此时$x=5$，
$\therefore$当$x=5m$时，花园的面积最大，最大面积是$50m^{2}$。

答案： 解：（1）由题意可得$x^{2}+2x+10=(x^{2}+2x+1)+9=(x+1)^{2}+9$，$\because (x+1)^{2}≥0$，$\therefore (x+1)^{2}+9≥9$，
$\therefore$当$x=-1$时，代数式$x^{2}+2x+10$有最小值，最小值是$9$。
（2）由题意可得，$-m^{2}+8m+3=-(m^{2}-8m+16)+3+16=-(m-4)^{2}+19$，
$\because (m-4)^{2}≥0$，$\therefore -(m-4)^{2}+19≤19$，
$\therefore$当$m=4$时，代数式$-m^{2}+8m+3$有最大值，最大值为$19$。
（3）由题意，得花园的面积是$x(20-2x)=-2x^{2}+20x$，
$\because -2x^{2}+20x=-2(x-5)^{2}+50$，$-2(x-5)^{2}≤0$，
$\therefore -2(x-5)^{2}+50≤50$，
$\therefore -2x^{2}+20x$的最大值是$50$，此时$x=5$，
$\therefore$当$x=5m$时，花园的面积最大，最大面积是$50m^{2}$。

15. 已知$P=x^{2}-x$，$Q=x-2$为任意实数，则$P-Q$的值(A)．
A. 大于0
B. 等于0
C. 小于0
D. 无法确定

答案： A 解析：$\because P=x^{2}-x$，$Q=x-2$，$\therefore P-Q=x^{2}-x-(x-2)=x^{2}-2x+2=(x-1)^{2}+1＞0$。

16. 已知$M=\frac{7}{5}t-2$，$N=t^{2}-\frac{3}{5}t$($t$为任意实数)，则$M$，$N$的大小关系为(B)．
A. $M＞N$
B. $M＜N$
C. $M=N$
D. 不能确定

答案： B

17. 已知代数式$A=3x^{2}-x+1$，$B=4x^{2}+3x+7$，则$A$＜$B$(填“$＞$”“$＜$”或“$=$”)．

答案： ＜

18. 我们知道$a^{2}\geqslant 0$，所以代数式$a^{2}$的最小值为0．学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用$a^{2}\pm 2ab+b^{2}=(a\pm b)^{2}$来求一些多项式的最小值．
例如，求$x^{2}+6x+3$的最小值问题．
解：$x^{2}+6x+3=x^{2}+6x+9-6=(x+3)^{2}-6$，
又$\because (x+3)^{2}\geqslant 0$，$\therefore (x+3)^{2}-6\geqslant -6$，
$\therefore x^{2}+6x+3$的最小值为$-6$．
请应用上述思想方法，解决下列问题：
(1)探究：$x^{2}-4x+5=(x$-2$)^{2}+$1；
(2)求$2x^{2}+4x$的最小值；
(3)比较代数式：$x^{2}-1$与$2x-3$的大小．

答案： 解：（1）-2 1
（2）$2x^{2}+4x=2(x^{2}+2x)=2(x^{2}+2x+1-1)=2(x^{2}+2x+1)-2=2(x+1)^{2}-2$，$\because (x+1)^{2}≥0$，$\therefore 2(x+1)^{2}-2≥-2$，$\therefore 2x^{2}+4x$的最小值为$-2$。
（3）$x^{2}-1-(2x-3)=x^{2}-2x+2=(x-1)^{2}+1$，
$\because (x-1)^{2}≥0$，$\therefore (x-1)^{2}+1＞0$，$\therefore x^{2}-1＞2x-3$。