《2025年广东名师讲练通九年级数学全一册北师大版深圳专版》

【例2】(根据九年级北师大版教材P89例1改编)如图，在△ABC中，DE//BC，AD=10，DE=20，AB=14，求BC的长.

解:∵DE//BC,∴△ADE∽△ABC,∴$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$，即$\frac{10}{14}=\frac{20}{BC}$，∴BC=28.

答案： 解:
∵DE//BC,
∴△ADE∽△ABC,
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$，即$\frac{10}{14}=\frac{20}{BC}$，
∴BC=$\frac{20×14}{10}=28$.

1. 如图，AC和BD相交于点O，请你添加一个条件∠A=∠C(答案不唯一)，使得△AOB∽△COD.

答案： ∠A=∠C(答案不唯一)

2. 在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A=56°，∠B=28°，∠A′=56°，∠C′=28°，那么这两个三角形是否相似？答：△ABC∽△A'C'B’，理由是两组角分别对应相等的两个三角形相似.

答案： △ABC∽△A'C'B’　两组角分别对应相等的两个三角形相似

3. 如图，∠AED=∠B，则一定可得(A).

A. AD∶AC=AE∶AB
B. DE∶BC=AD∶DB
C. DE∶BC=AE∶AC
D. AD∶AB=AE∶AC

答案： A

4. 如图，点P是▱ABCD的边AB上的一点，射线CP交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有(D).

A. 0对
B. 1对
C. 2对
D. 3对

答案： D

5. 如图，若∠ADE=∠B，∠BAD=∠CAE. 求证：△ADE∽△ABC.

答案：
证明:
∵∠BAD=∠CAE,
∴∠BAD+∠BAE=∠BAE+∠CAE.
∴∠DAE=∠BAC.
∵∠ADE=∠B,
∴△ADE∽△ABC.

6. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=4，AB=8.
(1)利用尺规作AC的垂直平分线DE，垂足为E，交AB于点D；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)求证：△ADE∽△ACB，并计算DE的长度.

(1)解:线段AC的垂直平分线DE如图所示.
(2)证明:∵∠B=90°,BC=4,AB=8,∴AC=$\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=4\sqrt{5}$
∵DE垂直平分线段AC，
∴∠AED=∠B=90°，AE=CE=$\frac{1}{2}AC=2\sqrt{5}$
∵∠A=∠A,∴△ADE∽△ACB.
∴$\frac{DE}{CB}=\frac{AE}{AB}$.∴$\frac{DE}{4}=\frac{2\sqrt{5}}{8}$,∴DE=$\sqrt{5}$

答案：
(1)解:线段AC的垂直平分线DE如图所示.
(2)证明:
∵∠B=90°,BC=4,AB=8,
∴AC=$\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=4\sqrt{5}$
∵DE垂直平分线段AC，
∴∠AED=∠B=90°，AE=CE=$\frac{1}{2}AC=2\sqrt{5}$
∵∠A=∠A,
∴△ADE∽△ACB.
∴$\frac{DE}{CB}=\frac{AE}{AB}$.
∴$\frac{DE}{4}=\frac{2\sqrt{5}}{8}$,
∴DE=$\sqrt{5}$

7. (根据九年级北师大版教材P90习题4.5第3题改编)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为点D.
(1)写出图中所有的相似三角形：△BAD∽△BCA∽△ACD；
(2)求证：AD²=BD·DC.

证明：∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠DAC=90°.
∵AD⊥BC，∴∠DAC+∠ACD=90°,
∴∠BAD=∠ACD.
∵∠BDA=∠ADC,∴△BAD∽△ACD.
∴$\frac{AD}{CD}=\frac{BD}{AD}$，即AD²=BD·DC.

答案：
(1)解:△BAD∽△BCA∽△ACD.
(2)证明:
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠DAC=90°.
∵AD⊥BC，
∴∠DAC+∠ACD=90°,
∴∠BAD=∠ACD.
∵∠BDA=∠ADC,
∴△BAD∽△ACD.
∴$\frac{AD}{CD}=\frac{BD}{AD}$，即AD²=BD·DC;

8. 如图，在菱形ABCD中，AB=3 cm，∠A=60°. 点E，F分别在边AD，AB上，且DE=1 cm. 将△AEF沿EF翻折，使点A落在对角线BD上的点A′处，则$\frac{A'B}{A'F}=$$\frac{1}{2}$.

答案： $\frac{1}{2}$　解析:
∵四边形ABCD是菱形，∠A=60°，
∴AD=AB，
∴△ADB是等边三角形，
∴∠ADB=∠ABD=60°.
∵∠EA'B=∠EA'F+∠FA'B=∠DEA'+∠EDA',
∠EA'F=∠EDA'=60°，
∴∠DEA'=∠FA'B,
∴△A'DE∽△FBA'，
∴$\frac{A'B}{A'F}=\frac{DE}{EA'}$.
∵AD=AB=3cm，DE=1cm，
∴EA=EA'=2cm,
∴$\frac{A'B}{A'F}=\frac{DE}{EA'}=\frac{1}{2}$，故答案为$\frac{1}{2}$.