《2025年广东名师讲练通九年级数学全一册北师大版深圳专版》

1. (2024·福田区校级开学)如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AB = 10$，$\cos \angle B=\frac{4}{5}$，则$BC=$(B)．

A. 6
B. 8
C. 9
D. 15

答案： B

2. 在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，若$\triangle ABC$的三边都扩大为原来的5倍，则$\sin A$的值(D)．
A. 扩大为原来的5倍
B. 缩小为原来的$\frac{1}{5}$
C. 不能确定
D. 不变

答案： D

3. 如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle BAC = 90^{\circ}$，$AD\perp BC$于点$D$，下列结论正确的是(C)．

A. $\sin C=\frac{CD}{AC}$
B. $\sin C=\frac{AD}{DC}$
C. $\sin C=\frac{AB}{BC}$
D. $\sin C=\frac{AD}{AB}$

答案： C

4. (2024·深圳模拟)如图，在$\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$BC = a$，$AC = b$，$AB = c$，则下列选项正确的是(D)．

A. $\sin A=\frac{b}{c}$
B. $\cos B=\frac{b}{c}$
C. $\tan A=\frac{a}{c}$
D. $\tan B=\frac{b}{a}$

答案： D

5. 如图，$\angle AOB$是放置在正方形网格中的一个角，则$\cos \angle AOB$的值是$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

答案： $\frac{\sqrt{2}}{2}$

6. (2023·佛山期中)在$\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\sin A=\frac{4}{5}$，$AB = 25$，试求$\triangle ABC$的周长．
解:如图，在$△ABC$中，$∠C=90°$，$sinA=\frac {4}{5}$，$AB=25$，
$\therefore sinA=\frac {BC}{AB}=\frac {BC}{25}=\frac {4}{5}$，
$\therefore BC=\frac {4}{5}×25=$20，
$\therefore AC=\sqrt {AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt {25^{2}-20^{2}}=$15，
$\therefore △ABC$的周长$=AC+BC+AB=15+20+25=$60．

答案： 解:如图，在$△ABC$中，$∠C=90°$，$sinA=\frac {4}{5}$，$AB=25$，
$\therefore sinA=\frac {BC}{AB}=\frac {BC}{25}=\frac {4}{5}$，
$\therefore BC=\frac {4}{5}×25=20$，
$\therefore AC=\sqrt {AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt {25^{2}-20^{2}}=15$，
$\therefore △ABC$的周长$=AC+BC+AB=15+20+25=60$．

7. 如图，在平行四边形$ABCD$中，点$E$是$AD$的中点，延长$BC$到点$F$，使$CF:BC = 1:2$，连接$DF$，$EC$．若$AB = 5$，$AD = 8$，$\sin B=\frac{4}{5}$，则$DF$的长等于____．

答案：
$\sqrt{17}$　解析:如图，过点C作$CH⊥AD$于点H，

在$//ogram ABCD$中，$∠B=∠ADC$，$AB=CD=5$，$AD// BC$，$AD=BC =8$．
$\because E$是$AD$的中点，
$\therefore DE=\frac{1}{2}AD=4$．
$\because CF:BC=1:2$，$\therefore CF=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AD$，$\therefore DE=CF=4$，
$\therefore$四边形$CFDE$是平行四边形，$\therefore CE=DF$；
$\because sinB=\frac{4}{5}$，$\therefore sin∠CDA=\frac{CH}{CD}=\frac{4}{5}$，即$\frac{CH}{5}=\frac{4}{5}$，解得$CH=4$．
在$Rt△CDH$中，由勾股定理，得$DH=\sqrt{CD^{2}-CH^{2}}=3$，则$EH=4 - 3 = 1$．
在$Rt△CEH$中，由勾股定理，得$CE=\sqrt{EH^{2}+CH^{2}}=\sqrt{1^{2}+4^{2}}=\sqrt{17}$，$\therefore DF=EC = \sqrt{17}$．
故答案为$\sqrt{17}$．

8. 如图，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$AB = 13$，$AC = 12$，$\angle BCM=\angle BAC$．
(1)求$\sin \angle BAC$的值．$\frac{5}{13}$
(2)求点$B$到直线$MC$的距离．$\frac{25}{13}$

答案： 解:　
(1)在$Rt△ABC$中，
$BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=\sqrt{13^{2}-12^{2}}=5$．
$\therefore sin∠BAC=\frac{BC}{AB}=\frac{5}{13}$．
(2)如图，作$BE⊥MC$，垂足是$E$，
则$BE=BC\cdot sin∠BCE=5×\frac{5}{13}=\frac{25}{13}$．
即点$B$到直线$MC$的距离为$\frac{25}{13}$．