《2025年广东名师讲练通九年级数学全一册北师大版深圳专版》

知识点1 利用顶点坐标求二次函数的表达式
利用待定系数法求表达式:一设、二代、三求、四还原.
(1)设二次函数的表达式:顶点式为$y = a(x - h)^2 + k$;
(2)根据图象或已知条件列方程;
(3)解方程(或方程组),求出待定系数;
(4)写出二次函数的表达式.

答案： $y = a(x - h)^2 + k$

【例1】已知抛物线的顶点坐标C(4,-2),且过点(2,6).
(1)试确定此抛物线的表达式;
(2)请你判断点P(-2,3)是否在这个二次函数的图象上?

答案： 解:　
(1)根据条件可设抛物线的表达式为$y = a(x - 4)^2 - 2$，把$(2,6)$的坐标代入得$6 = a(2 - 4)^2 - 2$，解得$a = 2$，
∴抛物线的表达式为$y = 2(x - 4)^2 - 2$。
(2)当$x = - 2$时，$y = 2(x - 4)^2 - 2 = 2×(- 2 - 4)^2 - 2 = 70$，
∴点$P(- 2,3)$不在这个二次函数的图象上。

对点训练1 已知二次函数的图象过点(1,-3),顶点坐标为(2,-5),求这个二次函数的表达式.
知识点2 利用两个点的坐标求二次函数的表达式
若只有两个未知系数,代入两个点的坐标求解即可.

答案： 解:由条件可设二次函数的表达式为$y = a(x - 2)^2 - 5$，
∴$a(1 - 2)^2 - 5 = - 3$，解得$a = 2$，
∴二次函数的表达式为$y = 2(x - 2)^2 - 5$，
即$y = 2x^2 - 8x + 3$。

【例2】已知二次函数y = x² + bx + c的图象经过点A(-1,12),B(2,-3).
(1)求该二次函数的表达式;
(2)用配方法把(1)所得的函数表达式化成y = a(x - h)² + k的形式,并写出该函数图象的顶点坐标和对称轴.
解:　(1)根据题意，得$\begin{cases}1 - b + c = 12\\4 + 2b + c = - 3\end{cases}$，解得$\begin{cases}b = - 6\\c = 5\end{cases}$，所以该二次函数的表达式为$y = x^2 - 6x + 5$。
(2)因为$y = x^2 - 6x + 5 = (x - 3)^2 - 4$，所以抛物线的顶点坐标为$(3,- 4)$，对称轴为直线$x = 3$。

答案： 解:　
(1)根据题意，得$\begin{cases}1 - b + c = 12\\4 + 2b + c = - 3\end{cases}$，解得$\begin{cases}b = - 6\\c = 5\end{cases}$，所以该二次函数的表达式为$y = x^2 - 6x + 5$。
(2)因为$y = x^2 - 6x + 5 = (x - 3)^2 - 4$，所以抛物线的顶点坐标为$(3,- 4)$，对称轴为直线$x = 3$。

对点训练2 已知二次函数y = -2x² + bx + c的图象经过A(0,4)和B(1,-2).
(1)求该抛物线的表达式;
(2)求抛物线的顶点坐标.

答案： 解:　
(1)把$A(0,4)$和$B(1,- 2)$的坐标代入$y = - 2x^2 + bx + c$，得$\begin{cases}c = 4\\- 2×1^2 + b + c = - 2\end{cases}$，解得$\begin{cases}b = - 4\\c = 4\end{cases}$，
所以该抛物线的表达式为$y = - 2x^2 - 4x + 4$。
(2)因为$y = - 2x^2 - 4x + 4 = - 2(x^2 + 2x) + 4 = - 2[(x + 1)^2 - 1] + 4 = - 2(x + 1)^2 + 6$，
所以该抛物线的顶点坐标为$(- 1,6)$。