《2025年广东名师讲练通九年级数学全一册北师大版深圳专版》

知识点2 反比例函数中k的相关意义与计算
1. 过双曲线$y=\frac{k}{x}(k≠0)$上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为⑮$\vert k\vert$。
2. 过双曲线$y=\frac{k}{x}(k≠0)$上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为⑯$\frac{1}{2}\vert k\vert$。
特别说明：只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的。

答案： 1. 解：设双曲线上一点$P(x,y)$，因为$y = \frac{k}{x}$，所以$xy = k$。
过点$P$作$x$轴、$y$轴的垂线，所得矩形的长和宽分别为$\vert x\vert$，$\vert y\vert$，根据矩形面积公式$S=\vert x\vert×\vert y\vert$，又因为$xy = k$，所以$S=\vert k\vert$。
2. 解：过双曲线$y=\frac{k}{x}(k\neq0)$上任意一点$P(x,y)$作一坐标轴（不妨设作$x$轴）的垂线，连接该点和原点，所得三角形的底为$\vert x\vert$，高为$\vert y\vert$。
根据三角形面积公式$S_{\triangle}=\frac{1}{2}×\vert x\vert×\vert y\vert$，因为$xy = k$，所以$S_{\triangle}=\frac{1}{2}\vert k\vert$。
故答案依次为：$\vert k\vert$；$\frac{1}{2}\vert k\vert$。

【例2】如图，点P是第二象限内的一点，且在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，过点P作$PA⊥x$轴于点A，若$\triangle PAO$的面积为5，则k的值为-10。

答案： -10 解析:由题意得 $ \frac{1}{2}|k| = 5 $，解得 $ k = \pm 10 $，
又
∵ $ k ＜ 0 $，
∴ $ k = -10 $，故答案为 -10.

对点训练2 下面四个图中反比例函数的表达式均为$y=\frac{3}{x}$，则阴影部分图形的面积为3的有(B)。

答案： B

1. 若点$A(x_{1},-1),B(x_{2},1),C(x_{3},5)$都在反比例函数$y=\frac{5}{x}$的图象上，则$x_{1},x_{2},x_{3}$的大小关系是(B)。
A. $x_{1}＜x_{2}＜x_{3}$
B. $x_{1}＜x_{3}＜x_{2}$
C. $x_{3}＜x_{2}＜x_{1}$
D. $x_{2}＜x_{1}＜x_{3}$

答案： B

2. (2023·深圳期末)如果在反比例函数$y=\frac{2t - 1}{x}$图象的每一支上，y都随x的增大而增大，那么t的取值范围是(C)。
A. $t＞\frac{1}{2}$
B. $t≥\frac{1}{2}$
C. $t＜\frac{1}{2}$
D. $t≤\frac{1}{2}$

答案： C

3. 如图，点A是y轴正半轴上的一个定点，点B是反比例函数$y=\frac{1}{x}(x＞0)$图象上的一个动点，当点B的纵坐标逐渐增大时，$\triangle OAB$的面积将(C)。

A. 逐渐增大
B. 不变
C. 逐渐减小
D. 先增大后减小

答案： C

4. (2024·南山区二模)如图，点A是反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上的一点，过点A作$AB⊥x$轴，垂足为B，点C为y轴上的一点，连接AC，BC。若$\triangle ABC$的面积为6，则k的值是-12。

答案： -12 解析:如图，连接 $ OA $，
∵ $ AB \perp x $ 轴，
∴ $ OC // AB $，
∴ $ S_{\triangle OAB} = S_{\triangle CAB} = 6 $，
而 $ S_{\triangle OAB} = \frac{1}{2}|k| $，
∴ $ \frac{1}{2}|k| = 6 $.
∵ $ k ＜ 0 $，
∴ $ k = -12 $. 故答案为 -12.

5. 如图，点A是反比例函数$y=\frac{k}{x}$图象上一点，过点A作$AB⊥y$轴于点B，点C，D在x轴上，且$BC// AD$，若四边形ABCD的面积为4，则$k=$-4。

答案： -4

6. 已知点$(2,y_{1}),(3,y_{2})$在反比例函数$y=\frac{-k^{2}-1}{x}$的图象上，则下列结论正确的是(B)。
A. $y_{1}＞y_{2}$
B. $y_{1}＜y_{2}$
C. $y_{1}=y_{2}$
D. $y_{1}$和$y_{2}$的大小不能确定

答案： B 解析:
∵ $ k^2 \geq 0 $，
∴ $ -k^2 - 1 ＜ 0 $，
∴在每一象限内，反比例函数 $ y = \frac{-k^2 - 1}{x} $ 的函数值 $ y $ 随 $ x $ 的增大而增大. 又
∵点 $ (2, y_1) $， $ (3, y_2) $ 在反比例函数 $ y = \frac{-k^2 - 1}{x} $ 的图象上，且 $ 3 ＞ 2 ＞ 0 $，
∴ $ y_1 ＜ y_2 $，故选 B.