《2025年广东名师讲练通九年级数学全一册北师大版深圳专版》

**【例2】** 如图，四边形$ABCD \backsim$四边形$A'B'C'D'$，则$\alpha =$$83^{\circ}$，$x =$12，$y =$16.5.

答案： 【例2】 $83^{\circ}$ 12 16.5

1. 观察下列每组图形，相似的一组是(C).

答案： 1. C

2. 五边形$ABCDE \backsim$五边形$A'B'C'D'E'$，若对应边$AB$与$A'B'$的长分别为50厘米和40厘米，则五边形$ABCDE$与五边形$A'B'C'D'E'$的相似比是2.5:4.

答案： 2.5:4

3. 若四边形$ABCD \backsim$四边形$A'B'C'D'$，$\angle A = 72^{\circ}$，$\angle B = 95^{\circ}$，$\angle C = 135^{\circ}$，则四边形$A'B'C'D'$的四个内角中最小角的度数为$58^{\circ}$.

答案： 3. $58^{\circ}$

4. 如图，已知在矩形$ABCD$中，$AB = 2$，在$BC$上取一点$E$，沿$AE$将$\triangle ABE$向上折叠，使$B$点落在$AD$上的$F$点，若四边形$EFDC$与矩形$ABCD$相似，则$AD =$$1+\sqrt{5}$.

答案： 4. $1+\sqrt{5}$ 解析：
∵在矩形 $ABCD$ 中，$AF$ 由 $AB$ 折叠而得，
∴四边形 $ABEF$ 是正方形。又
∵$AB=2$，
∴$AF=AB=EF=2$。设 $AD=x$，则 $FD=x-2$。
∵四边形 $EFDC$ 与矩形 $ABCD$ 相似，
∴$\frac{EF}{FD}=\frac{AD}{AB}$，即 $\frac{2}{x-2}=\frac{x}{2}$，解得 $x_1=1+\sqrt{5}$，$x_2=1-\sqrt{5}$（负值舍去）。经检验 $x_1=1+\sqrt{5}$ 是原方程的解。
∴$AD=1+\sqrt{5}$。

5. 如图，正方形$EFGH$的四个顶点分别在正方形$ABCD$的四条边上，若正方形$EFGH$与正方形$ABCD$的相似比为$\frac{\sqrt{5}}{3}$，求$\frac{AE}{BE}(AE ＜ BE)$的值.$\frac{1}{2}$

答案： 5. 解：
∵正方形 $EFGH$ 与正方形 $ABCD$ 的相似比为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∴不妨设 $EF=\sqrt{5}k$，$AB=3k$。
∵$\angle A=\angle B=\angle FEH=90^{\circ}$，
∴$\angle AEH+\angle BEF=90^{\circ}$，$\angle BEF+\angle EFB=90^{\circ}$，
∴$\angle AEH=\angle EFB$。
∵$EH=EF$，
∴$\triangle HAE\cong\triangle EBF$（AAS），
∴$AE=BF$。设 $AE=BF=x$，则 $EB=3k-x$。
在 $Rt\triangle EFB$ 中，$EF^2=BE^2+BF^2$，
∴$(\sqrt{5}k)^2=(3k-x)^2+x^2$，
整理得 $x^2-3kx+2k^2=0$，
解得 $x=k$ 或 $x=2k$（舍去），
∴$AE=k$，$BE=2k$，
∴$\frac{AE}{BE}=\frac{1}{2}$。

6. 如图，在矩形$ABCD$中，$AD = 2$，$CD = 1$，连接$AC$，以对角线$AC$为边，按逆时针方向作矩形$ABCD$的相似矩形$AB_1C_1C$，再连接$AC_1$，以对角线$AC_1$为边作矩形$AB_1C_1C$的相似矩形$AB_2C_2C_1$，$\cdots$，按此规律继续下去，求矩形$AB_4C_4C_3$的面积.

$\frac{625}{128}$

答案： 6. 解：
∵在矩形 $ABCD$ 中，$AD=2$，$CD=1$，
∴$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$。
∵矩形 $ABCD$ 与矩形 $AB_1C_1C$ 相似，
∴矩形 $AB_1C_1C$ 与矩形 $ABCD$ 的相似比为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴矩形 $AB_1C_1C$ 与矩形 $ABCD$ 的面积比为 $\frac{5}{4}$。
∵矩形 $ABCD$ 的面积为 $1×2=2$，
∴矩形 $AB_1C_1C$ 的面积为 $2×\frac{5}{4}=\frac{5}{2}$。
同理，矩形 $AB_2C_2C_1$ 的面积为 $\frac{5}{2}×\frac{5}{4}=\frac{25}{8}=\frac{5^2}{2^3}$，