《2025年广东名师讲练通九年级数学全一册北师大版深圳专版》

知识点1 $30^{\circ},45^{\circ},60^{\circ}$角的三角函数值
| $\angle A$ | $30^{\circ}$ | $45^{\circ}$ | $60^{\circ}$ |
| --- | --- | --- | --- |
| $\sin A$ | ①$\frac{1}{2}$； | ②$\frac{\sqrt{2}}{2}$； | ③$\frac{\sqrt{3}}{2}$； |
| $\cos A$ | ④$\frac{\sqrt{3}}{2}$； | ⑤$\frac{\sqrt{2}}{2}$； | ⑥$\frac{1}{2}$； |
| $\tan A$ | ⑦$\frac{\sqrt{3}}{3}$； | ⑧1； | ⑨$\sqrt{3}$； |
特别说明：余角的三角函数关系：如果$\angle A+\angle B = 90^{\circ}$，那么$\sin A=\cos B$，$\cos A=\sin B$。

答案： ①$\frac{1}{2}$ ②$\frac{\sqrt{2}}{2}$ ③$\frac{\sqrt{3}}{2}$ ④$\frac{\sqrt{3}}{2}$ ⑤$\frac{\sqrt{2}}{2}$ ⑥$\frac{1}{2}$ ⑦$\frac{\sqrt{3}}{3}$ ⑧1 ⑨$\sqrt{3}$

【例1】（2023·梅州二模）已知实数$a = \tan 30^{\circ}$，$b=\sin 45^{\circ}$，$c=\cos 60^{\circ}$，则下列说法正确的是（A）。
A. $b ＞ a ＞ c$
B. $a ＞ b ＞ c$
C. $b ＞ c ＞ a$
D. $a ＞ c ＞ b$

答案： A

对点训练1（2023·深圳一模）$\cos 60^{\circ}$的值为（C）。
A. $1$
B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

答案： C

【例2】计算：$\vert - 2\vert+3\sin 30^{\circ}-2^{-1}-(2022 - \pi)^{0}=$(C）。
A. $-2$
B. $-\frac{1}{2}$
C. $2$
D. $0$

答案： C

对点训练2 计算：$\vert\sqrt{2}-2\vert+2\cos 45^{\circ}-(-1)^{2023}+(\frac{1}{2})^{-1}$。

答案： 解：$|\sqrt{2}-2|+2\cos 45^{\circ}-(-1)^{2023}+(\frac{1}{2})^{-1}=2-\sqrt{2}+\sqrt{2}+1+2=5$。

【例3】（2024秋·福田区校级期中）已知$\alpha$为锐角，且$\tan (90^{\circ}-\alpha)=\sqrt{3}$，则$\alpha$的度数为（A）。
A. $30^{\circ}$
B. $60^{\circ}$
C. $45^{\circ}$
D. $75^{\circ}$

答案： A

$\triangle ABC$中，$\angle A$，$\angle B$都是锐角，且$\sin A=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos B=\frac{1}{2}$，则$\triangle ABC$的形状是（C）。
A. 直角三角形
B. 钝角三角形
C. 锐角三角形
D. 锐角三角形或钝角三角形

答案： C