《2025年广东名师讲练通九年级数学全一册北师大版深圳专版》

11. 已知△ABC∽△DEF,BG,EH分别是△ABC和△DEF的角平分线,BC=6cm,EF=4cm,BG=4.8cm.求EH的长.

解：∵△ABC∽△DEF，BG，EH分别是△ABC和△DEF的角平分线，∴$\frac{BG}{EH}=\frac{BC}{EF}$.∴$\frac{4.8}{EH}=\frac{6}{4}$.∴EH=3.2.即EH的长为3.2cm.

答案： 解：
∵△ABC∽△DEF，BG，EH分别是△ABC和△DEF的角平分线，
∴$\frac{BG}{EH}=\frac{BC}{EF}$.
∴$\frac{4.8}{EH}=\frac{6}{4}$.
∴EH=3.2.即EH的长为3.2cm.

12. 如图,在△ABC与△ADB中,∠ABC=∠ADB=90°,AC=5cm,AB=4cm,如果图中的两个直角三角形相似,求AD的长.

AD的长为$\frac{16}{5}$cm或$\frac{12}{5}$cm.

答案： 解：
∵∠ABC=∠ADB=90°，AC=5cm，AB=4cm，
∴BC=$\sqrt{AC^{2}-AB^{2}}=\sqrt{5^{2}-4^{2}}$=3（cm）.
若△ABC∽△ADB，则$\frac{AC}{AB}=\frac{AB}{AD}$，即$\frac{5}{4}=\frac{4}{AD}$，解得AD=$\frac{16}{5}$；若△ABC∽△BDA，则$\frac{AC}{AB}=\frac{BC}{AD}$，即$\frac{5}{4}=\frac{3}{AD}$，解得AD=$\frac{12}{5}$.综上，AD的长为$\frac{16}{5}$cm或$\frac{12}{5}$cm.

13. 如图,正方形DGFE的边EF在△ABC的边BC上,顶点D,G分别在边AB,AC上,AH⊥BC于点H,交DG于点P,已知BC=48,AH=16,求正方形DGFE的边长.

解：设正方形DGFE的边长为x，
∵四边形DGFE是正方形，
∴DG//EF，即DG//BC，∠GDE=∠DEF=90°，DE=DG=x，
∴△ADG∽△ABC，∴$\frac{DG}{BC}=\frac{AP}{AH}$.
∵AH⊥BC，∴∠GDE=∠DEF=∠PHE=90°，
∴四边形DEHP是矩形，∴PH=DE=x.
∵BC=48，AH=16，∴AP=AH-PH=16-x，
∴$\frac{x}{48}=\frac{16-x}{16}$，解得x=12.
∴正方形DGFE的边长为12.

答案： 解：设正方形DGFE的边长为x，
∵四边形DGFE是正方形，
∴DG//EF，即DG//BC，∠GDE=∠DEF=90°，DE=DG=x，
∴△ADG∽△ABC，
∴$\frac{DG}{BC}=\frac{AP}{AH}$.
∵AH⊥BC，
∴∠GDE=∠DEF=∠PHE=90°，
∴四边形DEHP是矩形，
∴PH=DE=x.
∵BC=48，AH=16，
∴AP=AH-PH=16-x，
∴$\frac{x}{48}=\frac{16-x}{16}$，解得x=12.
∴正方形DGFE的边长为12.