《2025年广东名师讲练通九年级数学全一册北师大版深圳专版》

3. 在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水火箭的发射表演，图1是某型号水火箭的实物图，水火箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线。为了解水火箭的相关性能，同学们进一步展开研究。如图2建立直角坐标系，水火箭发射后落在水平地面A处。科普员提供了该型号水火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面OA的竖直高度y(m)与离发射点O的水平距离x(m)的几组关系数据如下：
|水平距离x(m)|0|3|4|10|15|20|22|27|
|----|----|----|----|----|----|----|----|----|
|竖直高度y(m)|0|3.24|4.16|8|9|8|7.04|3.24|
(1)根据表，请确定抛物线的表达式；
(2)请计算当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为5m时，水火箭距离地面的竖直高度为5m。

答案： 解：（1）由题意可得，抛物线的对称轴是直线x = $\frac{10 + 20}{2}$ = 15，
∴抛物线的顶点坐标为（15，9）.
∴设抛物线的表达式为y = a（x−15）² + 9.
又抛物线过点（10，8），
∴25a = −1.
∴a = −$\frac{1}{25}$.
∴抛物线的表达式为y = −$\frac{1}{25}$（x−15）² + 9.
（2）由题意，结合（1）y = −$\frac{1}{25}$（x−15）² + 9，
∴令x = 5，得y = −$\frac{1}{25}$（5−15）² + 9 = 5.
∴火箭距离地面的竖直高度为5m.

4. 16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖。火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行。
某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程。如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线y=ax²+x和直线y=-1/2x+b。其中，当火箭运行的水平距离为9km时，自动引发火箭的第二级。
(1)若火箭第二级的引发点的高度为3.6km，
①直接写出a，b的值；a=−$\frac{1}{15}$，b=8.1
②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35km，求这两个位置之间的距离。
答：这两个位置之间的距离为8.4km.
(2)直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km。
−$\frac{2}{27}$＜a＜0

答案： 解：（1）①
∵抛物线y = ax² + x经过点（9，3.6），
∴81a + 9 = 3.6，解得a = −$\frac{1}{15}$.
∵y = −$\frac{1}{2}$x + b经过点（9，3.6），
∴3.6 = −$\frac{1}{2}$×9 + b，解得b = 8.1.
②由①，得y = −$\frac{1}{15}$x² + x
= −$\frac{1}{15}$（x²−15x + $\frac{225}{4}$） + $\frac{15}{4}$
= −$\frac{1}{15}$（x−$\frac{15}{2}$）² + $\frac{15}{4}$（0 ≤ x ≤ 9）.
∴火箭运行的最高点是$\frac{15}{4}$km.
∴$\frac{15}{4}$−1.35 = 2.4（km）.
∴2.4 = −$\frac{1}{15}$x² + x.
整理得x²−15x + 36 = 0.
解得x₁ = 12＞9（不合题意，舍去），x₂ = 3.
由①得y = −$\frac{1}{2}$x + 8.1，
∴2.4 = −$\frac{1}{2}$x + 8.1.
解得x = 11.4.
∴11.4−3 = 8.4（km）.
答：这两个位置之间的距离为8.4km.
（2）当x = 9时，y = 81a + 9.
∴火箭第二级的引发点的坐标为（9，81a + 9）.
设火箭落地点与发射点的水平距离为15km，
∴y = −$\frac{1}{2}$x + b经过点（9，81a + 9），（15，0），
∴$\begin{cases}-\frac{1}{2}×9 + b = 81a + 9, \\ -\frac{1}{2}×15 + b = 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = -\frac{2}{27}, \\ b = 7.5.\end{cases}$
∴−$\frac{2}{27}$＜a＜0时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km.