《2025年广东名师讲练通九年级数学全一册北师大版深圳专版》

知识点1 销售问题
销售问题常用等量关系：
利润=收入-成本；利润=单件利润×①销量；
利润=(售价-进价)×②销量.

答案： ①销量 ②销量

【例1】某商场将进价为每件18元的商品，按每件20元售出时，每天可销售100件，如果每件每提高1元，日销售量就要减少10件.若设定价为每件x元，则每件利润为(x-18)元，日销售量为(-10x+300)件，每天利润为(x-18)(-10x+300)元；若设每件提高x元，则每件利润为(20+x-18)元，日销售量为(100-10x)件，每天利润为(2+x)(100-10x)元.

答案： 【例1】 $(x-18)$ $(-10x+300)$ $(x-18)$ $(-10x+300)$ $(20+x-18)$ $(100-10x)$ $(2+x)$ $(100-10x)$

某件商品进价为每件30元，每天销量y件与每件售价x元满足y=-10x+580，则x=44时，每天的利润最大，且最大利润为1960元.

答案： 对点训练1 44 1960

【例2】某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量y(单位：件)与销售单价x(单位：元/件)之间是一次函数关系，其部分图象如图所示.
(1)求这段时间内y与x之间的函数表达式；
(2)在这段时间内，若销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任务，当销售单价为多少时，商场获得利润最大？最大利润是多少？
(1)y=-5x+800
(2)当销售单价为116元/件时，商场获得利润最大，最大利润是7920元.

答案： 解：（1）由题意，设一次函数的表达式为$y=kx+b$，又图象过$(100,300)$，$(120,200)$，
$\therefore \left\{\begin{array}{l} 100k+b=300,\\ 120k+b=200,\end{array}\right. \therefore \left\{\begin{array}{l} k=-5,\\ b=800.\end{array}\right.$
$\therefore$所求函数表达式为$y=-5x+800$．
（2）由题意，得$\left\{\begin{array}{l} x≥100,\\ -5x+800≥220,\end{array}\right. \therefore 100≤x≤116$．
∵商场获得的利润$=(x-80)(-5x+800)$
$=-5x^{2}+1200x-64000$
$=-5(x-120)^{2}+8000$，
又$-5＜0$，$100≤x≤116$，
$\therefore$当$x=116$时，利润最大，最大值为7920．
答：当销售单价为116元/件时，商场获得利润最大，最大利润是7920元．