《2025年广东名师讲练通九年级数学全一册北师大版深圳专版》

1.（2024 秋·福田区校级期中）我们在制作视力表时发现，每个“E”形图的长和宽相等（即每个“E”形图近似于正方形），如图，小明在制作视力表时，测得 $ l_1 = 14 \text{ cm} $，$ l_2 = 7 \text{ cm} $，他选择了一张面积为 $ 4 \text{ cm}^2 $ 的正方形卡纸，刚好可以剪得第②个小“E”形图。那么能够刚好剪得第①个大“E”形图的是面积为______16$ \text{cm}^2 $ 的正方形卡纸。

答案： 16 解析：$ \because $每个“E”形图近似于正方形，
$ \therefore P _ { 2 } D _ { 2 } // P _ { 1 } D _ { 1 } $，$ \therefore \triangle P P _ { 2 } D _ { 2 } \backsim \triangle P P _ { 1 } D _ { 1 } $。
$ \because l _ { 1 } = 14 $ cm，$ l _ { 2 } = 7 $ cm，$ \therefore P _ { 2 } D _ { 2 } : P _ { 1 } D _ { 1 } = 1 : 2 $。
$ \because $第②个小“E”形图是 $ 4 \mathrm { cm } ^ { 2 } $ 的正方形卡纸，
$ \therefore $第①个大“E”形图的面积是 $ 4 \times 4 = 16 $（$ \mathrm { cm } ^ { 2 } $）。
故答案为 16。

2. 为了加强视力保护意识，欢欢想在书房里挂一张测试距离为 5 m 的视力表，但两面墙的距离只有 3 m。在一次课题学习课上，欢欢向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙两位同学设计方案新颖，构思巧妙。


（1）甲同学的方案：如图 1，根据测试距离为 5 m 的大视力表制作一个测试距离为 3 m 的小视力表，如果大视力表中“E”的高是 3.5 cm，那么小视力表中相应“E”的高是2.1cm。
（2）乙同学的方案：使用平面镜来解决房间小的问题。如图 2，若使墙面镜子能呈现完整的视力表，由平面镜成像原理，作出了光路图，其中视力表 AB 的上、下边沿 A，B 发出的光线经平面镜 $ MM' $ 的上、下边沿反射后射人人眼 C。如果视力表的全长为 0.8 m，请计算出镜长至少为0.32米。

答案： 解：（1）$ \because F D // B C $，$ \therefore \triangle A D F \backsim \triangle A B C $。
$ \therefore \frac { F D } { B C } = \frac { A D } { A B } $，$ \therefore \frac { F D } { 3.5 } = \frac { 3 } { 5 } $，$ \therefore F D = 2.1 $。
答：小视力表中相应“E”的高是 2.1 cm。
（2）作 $ C D \perp M M ^ { \prime } $，垂足为 $ D $，并延长 $ C D $ 交 $ A ^ { \prime } B ^ { \prime } $ 于点 $ E $（图略）。
$ \because A B // M M ^ { \prime } // A ^ { \prime } B ^ { \prime } $，$ \therefore C E \perp A ^ { \prime } B ^ { \prime } $，
$ \therefore \triangle C M M ^ { \prime } \backsim \triangle C A ^ { \prime } B ^ { \prime } $，$ \therefore \frac { M M ^ { \prime } } { A ^ { \prime } B ^ { \prime } } = \frac { C D } { C E } $。
又 $ \because C D = C E - D E = 5 - 3 = 2 $（m），$ C E = 5 $ m，
$ A ^ { \prime } B ^ { \prime } = A B = 0.8 $ m，
$ \therefore \frac { M M ^ { \prime } } { 0.8 } = \frac { 2 } { 5 } $，$ \therefore M M ^ { \prime } = 0.32 $，$ \therefore $镜长至少为 0.32 m。