《2025年广东名师讲练通九年级数学全一册北师大版深圳专版》

1. 抛物线 $ y = 2 x ^ { 2 } + 1 $ 的对称轴是（C）。
A. 直线 $ x = \frac { 1 } { 2 } $
B. 直线 $ x = - \frac { 1 } { 2 } $
C. $ y $ 轴
D. 直线 $ x = 2 $

答案： C

2. 抛物线 $ y = x ^ { 2 } $，$ y = - 2 x ^ { 2 } + 1 $，$ y = 2 x ^ { 2 } + 1 $ 共有的性质是（C）。
A. 开口向上
B. 都有最高点
C. 对称轴都是 $ y $ 轴
D. 顶点都是原点

答案： C

3. 已知 $ a ＜ - 1 $，点 $ ( a - 1, y _ { 1 } ) $，$ ( a, y _ { 2 } ) $，$ ( a + 1, y _ { 3 } ) $ 都在函数 $ y = 3 x ^ { 2 } - 2 $ 的图象上，则（D）。
A. $ y _ { 1 } ＜ y _ { 2 } ＜ y _ { 3 } $
B. $ y _ { 1 } ＜ y _ { 3 } ＜ y _ { 2 } $
C. $ y _ { 2 } ＜ y _ { 1 } ＜ y _ { 3 } $
D. $ y _ { 3 } ＜ y _ { 2 } ＜ y _ { 1 } $

答案： D

4. 将抛物线 $ y = ax ^ { 2 } + c $ 向下平移5个单位长度后，得到抛物线 $ y = - 2 x ^ { 2 } $，则 $ a = $-2，$ c = $5。

答案： $ -2 $ 5

5.（2023·深圳一模）已知点 $ ( x _ { 1 }, y _ { 1 } ) $，$ ( x _ { 2 }, y _ { 2 } ) $ 均在抛物线 $ y = x ^ { 2 } - 4 $ 上，下列说法中正确的是（D）。
A. 若 $ y _ { 1 } = y _ { 2 } $，则 $ x _ { 1 } = x _ { 2 } $
B. 若 $ x _ { 1 } = - x _ { 2 } $，则 $ y _ { 1 } = - y _ { 2 } $
C. 若 $ 0 ＜ x _ { 1 } ＜ x _ { 2 } $，则 $ y _ { 1 } ＞ y _ { 2 } $
D. 若 $ x _ { 1 } ＜ x _ { 2 } ＜ 0 $，则 $ y _ { 1 } ＞ y _ { 2 } $

答案： D

6.（2024·福田区校级二模）函数 $ y = ax ^ { 2 } - a $ 与 $ y = ax - a ( a \neq 0 ) $ 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（D）。

答案： D 解析：①当 $ a ＞ 0 $ 时，二次函数 $ y = ax^2 - a $ 的图象开口向上、对称轴为 $ y $ 轴、顶点在 $ y $ 轴负半轴上，一次函数 $ y = ax - a (a \neq 0) $ 的图象经过第一、三、四象限，且两个函数的图象交于 $ y $ 轴同一点；
②当 $ a ＜ 0 $ 时，二次函数 $ y = ax^2 - a $ 的图象开口向下、对称轴为 $ y $ 轴、顶点在 $ y $ 轴正半轴上，一次函数 $ y = ax - a (a \neq 0) $ 的图象经过第一、二、四象限，且两个函数的图象交于 $ y $ 轴同一点. 对照四个选项可知 D 正确. 故选 D.

7. 已知抛物线 $ y = - 2 x ^ { 2 } + c $ 与 $ x $ 轴交于 $ A $，$ B $ 两点（点 $ A $ 在点 $ B $ 的左边），与 $ y $ 轴交于点 $ C $。
（1）当 $ \angle ACB = 60 ^ { \circ } $ 时，求 $ c $ 的值；$\frac{3}{2}$
（2）当 $ \angle ACB = 90 ^ { \circ } $ 时，求抛物线的表达式。$y = -2x^2 + \frac{1}{2}$

答案： 解：（1）由题意，得 $ -2x^2 + c = 0 $，$ \therefore x = \pm \frac{\sqrt{2c}}{2} $，
$ \therefore A \left( -\frac{\sqrt{2c}}{2}, 0 \right) $，$ B \left( \frac{\sqrt{2c}}{2}, 0 \right) $，$ \therefore OA = OB = \frac{\sqrt{2c}}{2} $.
$ \because \angle ACB = 60^\circ $，$ C (0, c) $，$ \therefore \sqrt{3} OB = OC $，$ \therefore \frac{\sqrt{2c} \times \sqrt{3}}{2} = c $，$ \therefore c = \frac{3}{2} $.
（2）当 $ \angle ACB = 90^\circ $ 时，易得 $ OB = OC $，$ \therefore \frac{\sqrt{2c}}{2} = c $，$ \therefore c = \frac{1}{2} $，
$ \therefore $ 抛物线的表达式为 $ y = -2x^2 + \frac{1}{2} $.