《2025年广东名师讲练通九年级数学全一册北师大版深圳专版》

1. 若点C为线段AB的黄金分割点，且$AC＞BC$，则下列各式中不正确的是(C)。
A. $AB:AC=AC:BC$
B. $BC=\frac {3-\sqrt {5}}{2}AB$
C. $AC=\frac {\sqrt {5}+1}{2}AB$
D. $AC\approx 0.618AB$

答案： C

2. 已知线段$AB=2$，点C，D是线段AB上的两个黄金分割点，则CD的长是(C)。
A. $3-\sqrt {5}$
B. $\sqrt {5}$
C. $2\sqrt {5}-4$
D. $\sqrt {5}-1$

答案： C

3. 当气温与人体正常体温$(37^{\circ }C)$之比等于黄金分割比0.618时，人体感觉最舒适，这个气温约为23$^{\circ }C$。(取整数)

答案： 23

4. 我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献。优选法中有一种0.618法应用了(A)。
A. 黄金分割数
B. 平均数
C. 众数
D. 中位数

答案： A

5. 如图，校园里一片小小的树叶，P为AB的黄金分割点$(AP＞PB)$，如果AB的长度为12cm，求叶柄BP的长度。

解：由黄金分割得$\frac{AP}{AB}=\frac{BP}{AP}$，∴$\frac{12−BP}{12}=\frac{BP}{12−BP}$，整理得$(12−BP)^2=12BP$，解得$BP=$$18−6\sqrt{5}$或$BP=18+6\sqrt{5}$（舍去）.
答：叶柄BP的长度为$(18−6\sqrt{5})$cm.

答案： 解：由黄金分割得$\frac{AP}{AB}=\frac{BP}{AP}$，
∴$\frac{12−BP}{12}=\frac{BP}{12−BP}$，整理得$(12−BP)^2=12BP$，解得$BP=18−6\sqrt{5}$或$BP=18+6\sqrt{5}$（舍去）.
答：叶柄BP的长度为$(18−6\sqrt{5})$cm.

6. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB=AC$，$∠BAC=36^{\circ }$，以点C为圆心，以BC为半径作弧交AC于点D，再分别以B，D为圆心，以大于$\frac {1}{2}BD$的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线CP交AB于点E，连接DE。以下结论不正确的是(C)。

A. $∠BCE=36^{\circ }$
B. $BC=AE$
C. $\frac {BE}{AC}=\frac {\sqrt {5}-1}{2}$
D. $\frac {S_{\triangle AEC}}{S_{\triangle BEC}}=\frac {\sqrt {5}+1}{2}$

答案： C 解析：
∵AB=AC，∠BAC=36°，
∴$∠ABC=∠ACB=\frac{180°−∠BAC}{2}=72°$.
由题意得CP平分∠ACB，
∴$∠BCE=∠ACE=\frac{1}{2}∠ACB=36°$，
∴∠A=∠ACE=36°，
∴AE=CE.
∵∠CEB=∠A+∠ACE=72°，
∴∠B=∠CEB=72°，
∴CB=CE，
∴AE=CE=CB.
∵△BCE是顶角为36°的等腰三角形，
∴△BCE是黄金三角形.
∴$\frac{BE}{BC}=\frac{\sqrt{5}−1}{2}$，
∴$\frac{BE}{AE}=\frac{\sqrt{5}−1}{2}$，
∴$\frac{S_{△BCE}}{S_{△AEC}}=\frac{BE}{AE}=\frac{\sqrt{5}−1}{2}$，
∴$\frac{S_{△AEC}}{S_{△BCE}}=\frac{2}{\sqrt{5}−1}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，
故A，B，D不符合题意，C符合题意. 故选C.

7. 古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至腰部的长度与腰部至足底的长度之比是黄金分割比。在设计人体雕像时，雕像的腰部以下长为a，身高为b，如果我们选择最美设计方案，当b为2米时，求腰部以下a的长度。$(\sqrt {5}\approx 2.236$，精确到0.01米)

答案： 解：由题意得$\frac{b−a}{a}=\frac{\sqrt{5}−1}{2}$，即$\frac{2−a}{a}=\frac{\sqrt{5}−1}{2}$，解得$a=\sqrt{5}−1≈1.24$（米）.

8. 欧几里得的《几何原本》中给出了一个找线段的黄金分割点的方法。如图所示，以线段AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连接BE，延长DA至点F，使得$EF=BE$，以AF为边作正方形AFGH，则点H即是线段AB的黄金分割点。若记正方形AFGH的面积为$S_{1}$，矩形BCIH的面积为$S_{2}$，求$S_{1}$与$S_{2}$的比值。

解：∵H是AB的黄金分割点，∴$AH^2=BH·AB$.
∵$S_1=AH^2$，$S_2=BH·BC=BH·AB$，
∴$S_1=S_2$，即$\frac{S_1}{S_2}=$1.

答案： 解：
∵H是AB的黄金分割点，
∴$AH^2=BH·AB$.
∵$S_1=AH^2$，$S_2=BH·BC=BH·AB$，
∴$S_1=S_2$，即$\frac{S_1}{S_2}=1$.