《2025年广东名师讲练通九年级数学全一册北师大版深圳专版》

23. 在等腰$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$\triangle ABC$的周长为11,且有$(BC + 1)^{2}=4AB$,求$\triangle ABC$的腰长和底边长.
腰长为4，底边长为3

答案： 【解析】：设腰长$AB = AC = x$，底边长$BC = y$。
因为$\triangle ABC$的周长为$11$，所以$2x + y = 11$，即$y = 11 - 2x$。
又因为$(BC + 1)^{2}=4AB$，所以$(y + 1)^{2}=4x$。
把$y = 11 - 2x$代入$(y + 1)^{2}=4x$可得：$(11 - 2x + 1)^{2}=4x$，即$(12 - 2x)^{2}=4x$。
展开得$144-48x + 4x^{2}=4x$，移项化为一元二次方程的一般形式为$4x^{2}-52x + 144 = 0$，两边同时除以$4$得$x^{2}-13x + 36 = 0$。
分解因式得$(x - 4)(x - 9)=0$，则$x - 4 = 0$或$x - 9 = 0$，解得$x_{1}=4$，$x_{2}=9$。
当$x = 4$时，$y = 11 - 2\times4 = 3$，此时$4 + 4＞3$，能构成三角形。
当$x = 9$时，$y = 11 - 2\times9=-7$，边长不能为负，舍去。
【答案】：腰长为$4$，底边长为$3$

24. (2024·清远期末)若两个连续整数的积是56,求这两个连续整数的和.

答案： 【解析】：设较小的整数为$x$，则较大的整数为$x + 1$。
根据两个连续整数的积是$56$，可列方程$x(x + 1)=56$，
即$x^{2}+x - 56 = 0$，
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$（$a\neq0$），这里$a = 1$，$b = 1$，$c=-56$，
根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，$\Delta=b^{2}-4ac=1^{2}-4\times1\times(-56)=1 + 224 = 225$，
则$x=\frac{-1\pm\sqrt{225}}{2}=\frac{-1\pm15}{2}$，
$x_{1}=\frac{-1 + 15}{2}=7$，$x_{2}=\frac{-1-15}{2}=-8$。
当$x = 7$时，$x + 1 = 8$，两数和为$7 + 8 = 15$；
当$x=-8$时，$x + 1=-7$，两数和为$-8+( - 7)=-15$。
【答案】：$15$或$-15$

25. 如图,将一块长50 cm,宽40 cm的铁皮剪去四个小正方形,剩余部分就可以折成一个长方体无盖盒子.如果盒子的底面积为$ 600 cm^{2} $,求剪去小正方形的边长.

剪去小正方形的边长为10cm.

答案： 【解析】：设剪去小正方形的边长为$x cm$。
则折成的长方体盒子底面的长为$(50 - 2x)cm$，宽为$(40 - 2x)cm$。
根据长方体盒子底面积为$600cm^{2}$，可列方程$(50 - 2x)(40 - 2x)=600$。
展开方程得$2000-80x - 100x+4x^{2}=600$。
移项化为一元二次方程的一般形式：$4x^{2}-180x + 2000 - 600 = 0$，即$4x^{2}-180x+1400 = 0$，两边同时除以$4$得$x^{2}-45x + 350 = 0$。
分解因式得$(x - 10)(x - 35)=0$。
则$x - 10 = 0$或$x - 35 = 0$。
解得$x_{1}=10$，$x_{2}=35$。
当$x = 35$时，$50-2x=50 - 2×35=-20\lt0$，$40-2x=40 - 2×35=-30\lt0$，不符合实际情况，舍去。
【答案】：$10cm$

26. 如图,某校九年级(1)班学生用长为36 m的篱笆围成一个矩形劳动基地,且中间用一段篱笆分隔成两个矩形.
(1)若设劳动基地一边AD的长为x m,请用含有x的代数式表示AB的长.$(12-\dfrac{2}{3}x)m$
(2)若围成的劳动基地面积为$ 48 m^{2} $,求AD的长.6m或12m

答案： 【解析】：
(1)已知篱笆总长为$36m$，$AD = xm$，因为$AD$与$BC$长度相等，$AB$与$EF$、$CD$长度相等，且中间有一段篱笆$EF$，所以$3AB + 2AD=36$，则$3AB = 36 - 2x$，那么$AB=\dfrac{36 - 2x}{3}=(12-\dfrac{2}{3}x)m$。
(2)根据矩形面积公式$S = AB\times AD$，已知$S = 48m^{2}$，$AD = xm$，$AB=(12 - \dfrac{2}{3}x)m$，可得方程$x(12-\dfrac{2}{3}x)=48$。
去括号得$12x-\dfrac{2}{3}x^{2}=48$。
两边同时乘以$3$化为整式方程：$36x - 2x^{2}=144$。
移项得$2x^{2}-36x + 144 = 0$，两边同时除以$2$得$x^{2}-18x + 72 = 0$。
分解因式得$(x - 6)(x - 12)=0$。
则$x - 6 = 0$或$x - 12 = 0$。
解得$x_{1}=6$，$x_{2}=12$。
当$x = 6$时，$AB=12-\dfrac{2}{3}\times6=12 - 4 = 8$；当$x = 12$时，$AB=12-\dfrac{2}{3}\times12=12 - 8 = 4$。
所以$AD$的长为$6m$或$12m$。
【答案】：
(1)$AB=(12-\dfrac{2}{3}x)m$
(2)$AD$的长为$6m$或$12m$

27. $ x^{2}+100x + 2400 = 0 $.

答案： 【解析】：对于一元二次方程$x^{2}+100x + 2400 = 0$，我们可以使用因式分解法来求解。将方程左边分解因式，$2400=40\times60$，且$40 + 60 = 100$，所以原方程可化为$(x + 40)(x + 60)=0$。根据“若两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0”，可得$x + 40 = 0$或$x + 60 = 0$。当$x + 40 = 0$时，解得$x=-40$；当$x + 60 = 0$时，解得$x=-60$。
【答案】：$x_{1}=-40$，$x_{2}=-60$

28. $ x^{2}+100x - 2400 = 0 $.

答案： 【解析】：对于一元二次方程$x^{2}+100x - 2400 = 0$，我们可以使用因式分解法来求解。将方程左边分解因式，$x^{2}+100x - 2400$可分解为$(x + 120)(x - 20)$，则原方程可化为$(x + 120)(x - 20)=0$。根据“若两个数的乘积为$0$，则至少其中一个数为$0$”，可得$x + 120 = 0$或$x - 20 = 0$。当$x + 120 = 0$时，解得$x = - 120$；当$x - 20 = 0$时，解得$x = 20$。
【答案】：$x_{1} = - 120$，$x_{2} = 20$

29. $ x^{2}+6x - 1080 = 0 $.

答案： 【解析】：对于一元二次方程$x^{2}+6x - 1080 = 0$，我们可以使用求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$来求解，其中$a = 1$，$b = 6$，$c = -1080$。首先计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac$，将$a = 1$，$b = 6$，$c = -1080$代入可得：$\Delta=6^{2}-4\times1\times(-1080)=36 + 4320 = 4356$。然后求方程的根，$x=\frac{-6\pm\sqrt{4356}}{2\times1}=\frac{-6\pm66}{2}$。当取正号时，$x_1=\frac{-6 + 66}{2}=\frac{60}{2}=30$；当取负号时，$x_2=\frac{-6 - 66}{2}=\frac{-72}{2}=-36$。
【答案】：$x_1 = 30$，$x_2 = -36$

30. $ x^{2}+63x - 3700 = 0 $.

答案： 【解析】：对于一元二次方程$ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$，其求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$。在方程$x^{2}+63x - 3700 = 0$中，$a = 1$，$b = 63$，$c=-3700$。先计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(63)^{2}-4\times1\times(-3700)=3969 + 14800 = 18769$，$\sqrt{\Delta}=\sqrt{18769}=137$。再将$a$、$b$、$\Delta$的值代入求根公式可得$x=\frac{-63\pm137}{2}$，即$x_1=\frac{-63 + 137}{2}=\frac{74}{2}=37$，$x_2=\frac{-63 - 137}{2}=\frac{-200}{2}=-100$。
【答案】：$x_1 = 37$，$x_2 = -100$