《2025年广东名师讲练通九年级数学全一册北师大版深圳专版》

1.（2024·龙华区校级模拟）$\tan 30^{\circ}$的值是（D）。
A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
C. $\frac{\sqrt{2}}{3}$
D. $\frac{\sqrt{3}}{3}$

答案： D

2. 四个实数$2\sin 45^{\circ}$，$4\cos 60^{\circ}$，$-2$，$\frac{\pi}{4}$中，最大的是（B）。
A. $2\sin 45^{\circ}$
B. $4\cos 60^{\circ}$
C. $-2$
D. $\frac{\pi}{4}$

答案： B

3. 计算：$(\frac{1}{2})^{-3}+(-2025)^{0}-\sqrt{2}\cos 45^{\circ}=$8。

答案： 8

4.（2024秋·深圳校级月考）$\triangle ABC$中，若$\cos A=\frac{\sqrt{3}}{2}$，则$\angle A=$30°。

答案： 30°

5.（2024·罗湖区校级三模）计算：$(\frac{1}{3})^{-2}-2\sin 45^{\circ}+(\pi - 3.14)^{0}+\frac{1}{2}\times\sqrt{8}+(-1)^{3}$。

答案： 解：原式$=9-2\times\frac{\sqrt{2}}{2}+1+\sqrt{2}-1=9$。

6. 计算：$\sin 45^{\circ}-\vert 2 - \sqrt{2}\vert+(\pi - 1)^{0}+(-\frac{1}{2})^{-1}$。

答案： 解：$\sin 45^{\circ}-|2-\sqrt{2}|+(\pi-1)^{0}+(-\frac{1}{2})^{-1}$
$=\frac{\sqrt{2}}{2}-(2-\sqrt{2})+1+(-2)$
$=\frac{\sqrt{2}}{2}-2+\sqrt{2}+1-2$
$=\frac{3\sqrt{2}}{2}-3$。

7.（2023·深圳模拟预测）正方形网格中，$\angle AOB$如图放置，则$\sin \angle AOB$的值为（ ）。

A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
C. $1$
D. $\frac{\sqrt{3}}{3}$

答案：
B 解析：如图，连接BD，CD，设每个小正方形的边长是1，根据勾股定理可以得到$OD=BD=\sqrt{10}$，$OC=BC=\sqrt{5}$

在$\triangle ODB$中，由等腰三角形三线合一，得$∠OCD=90^{\circ}$，
则$CD=\sqrt{OD^{2}-OC^{2}}=\sqrt{5}$，
$\therefore \sin∠AOB=\frac{CD}{OD}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。

8.（2024·南山区校级模拟）已知$\angle A$是锐角，$\sin A=\frac{3}{5}$，则$\cos A$的值为（ ）。
A. $\frac{3}{4}$
B. $\frac{4}{5}$
C. $\frac{2}{5}$
D. $\frac{1}{3}$

答案：
B 解析：如图所示，

$\because \sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{5}$，
设$BC=3a$，$AB=5a$，
则$AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=4a$，
$\therefore \cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{4a}{5a}=\frac{4}{5}$。
故选B。

9. 如图，在$\text{Rt}\triangle ABC$中，$\angle B = 90^{\circ}$，$AB = 1$，$AC = 2$，延长$BC$至点$D$，使线段$CD$满足$AC = CD$，试求$\tan 75^{\circ}+\tan 15^{\circ}$的值。

答案：
解：如图，$\because ∠B=90^{\circ}$，$AB=1$，$AC=CD=2$，

$\therefore \sin∠ACB=\frac{AB}{AC}=\frac{1}{2}$，$\therefore ∠ACB=30^{\circ}$，
$\therefore ∠BAC=60^{\circ}$，$BC=\sqrt{3}AB=\sqrt{3}$，
$\therefore BD=BC+CD=\sqrt{3}+2$。
$\because AC=CD$，且$∠ACB=∠D+∠CAD=30^{\circ}$，
$\therefore \triangle ACD$是等腰三角形，$∠CAD=∠D=15^{\circ}$，
$\therefore ∠BAD=∠BAC+∠CAD=60^{\circ}+15^{\circ}=75^{\circ}$，
$\therefore \tan 75^{\circ}=\frac{BD}{AB}=\frac{\sqrt{3}+2}{1}=\sqrt{3}+2$，
$\tan 15^{\circ}=\frac{AB}{BD}=\frac{1}{\sqrt{3}+2}=2-\sqrt{3}$，
$\therefore \tan 75^{\circ}+\tan 15^{\circ}=\sqrt{3}+2+2-\sqrt{3}=4$。