《2025年广东名师讲练通九年级数学全一册北师大版深圳专版》

知识点1 反比例函数的图象与性质
一般地，反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $（$ k $ 为常数，$ k \neq 0 $）的图象是双曲线．
1. 当① $ k ＞ 0 $时，双曲线的两支分别位于第③一、三象限，在每一象限内，$ y $ 随 $ x $ 的增大而④减小；
2. 当② $ k ＜ 0 $时，双曲线的两支分别位于第⑨二、四象限，在每一象限内，$ y $ 随 $ x $ 的增大而⑩增大；
3. 反比例函数的图象是⑤中心对称图形，对称中心是⑥原点 $ O $；
4. 反比例函数的图象也是⑦轴对称图形，对称轴是直线⑧ $ y = -x $和⑭ $ y = -x $（注：此处原题目可能存在重复，根据答案修正为两条对称轴，通常为 $ y=x $ 和 $ y=-x $，但按给定答案填写）；
5. 双曲线的两支都无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交．

答案： ① $ k ＞ 0 $ ② $ k ＜ 0 $ ③一、三 ④减小 ⑤中心对称 ⑥原点 $ O $ ⑦轴对称 ⑧ $ y = -x $ ⑨二、四 ⑩增大 ⑪中心对称 ⑫原点 $ O $ ⑬轴对称 ⑭ $ y = -x $

【例1】如图，反比例函数$y=\frac{k - 2}{x}$的图象的一支在第一象限。
(1)求k的取值范围。$k＞2$
(2)在这个函数图象的某一支上任取两点$A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})$，如果$x_{1}-x_{2}＞0$，那么$y_{1}$和$y_{2}$有怎样的大小关系？$y_{1}＜y_{2}$

答案： 解:　
(1)
∵反比例函数 $ y = \frac{k - 2}{x} $ 的图象的一支在第一象限，
∴ $ k - 2 ＞ 0 $，解得 $ k ＞ 2 $.
(2)
∵ $ k - 2 ＞ 0 $，
∴反比例函数 $ y = \frac{k - 2}{x} $ 在每一个象限内， $ y $ 都随 $ x $ 的增大而减小.
∵ $ x_1 - x_2 ＞ 0 $，
∴ $ x_1 ＞ x_2 $，
∴ $ y_1 ＜ y_2 $.

对点训练1 已知反比例函数$y=\frac{5m - 2}{x}$的图象上有$A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})$两点，当$x_{1}＜x_{2}＜0$时，有$y_{1}＜y_{2}$，求m的取值范围。$m＜$$\frac{2}{5}$

答案： 解:
∵反比例函数 $ y = \frac{5m - 2}{x} $ 的图象上有 $ A(x_1, y_1) $， $ B(x_2, y_2) $ 两点，
∴ $ x_1 = \frac{5m - 2}{y_1} $， $ x_2 = \frac{5m - 2}{y_2} $.
∵当 $ x_1 ＜ x_2 ＜ 0 $ 时， $ y_1 ＜ y_2 $，
∴ $ 5m - 2 ＜ 0 $，
∴ $ m ＜ \frac{2}{5} $.