《2025年广东名师讲练通九年级数学全一册北师大版深圳专版》

3. 菱形、矩形、平行四边形都具有的性质是(C).
A. 一组邻边相等
B. 对角线相等
C. 对角线互相平分
D. 对角线互相垂直

答案： C

4. 如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E，F，AB=2，BC=3，则图中阴影部分的面积为____3.

答案： 3

5. 如图，在矩形ABCD中，E是对角线BD上一点，F是BC的中点，连接CE，FE. 已知AD=4，∠CBD=∠DCE，则EF的长为____2____.

答案： 2 解析：
∵四边形 $ABCD$ 是矩形，
∴$\angle BCD = 90^{\circ}$，$BC = AD = 4$，
∴$\angle DBC+\angle BDC = 90^{\circ}$.
∵$\angle CBD = \angle DCE$，
∴$\angle DCE+\angle BDC = 90^{\circ}$，
∴$\angle CEB = \angle DCE+\angle BDC = 90^{\circ}$.
∵$F$ 是 $BC$ 的中点，
∴$EF=\frac{1}{2}BC = 2$.

6. (2024秋·南山区期末)如图，长方形ABCD中，F是DA延长线上一点，G是CF上一点，并且∠ACG=∠AGC，∠GAF=∠F. 若∠BCE=20°，则∠ACB的度数为____60°.

答案： $60^{\circ}$ 解析：在 $\triangle AGF$ 中，$\angle AGC = \angle F+\angle GAF = 2\angle F$.
∵$\angle ACG = \angle AGC$，
∴$\angle ACG = 2\angle F$.
∵$AD// BC$，
∴$\angle ECB = \angle F$，
∴$\angle ACB = \angle ACG+\angle BCE = 3\angle F$，
∴$\angle ACB = 3\angle ECB = 60^{\circ}$.
故答案为 $60^{\circ}$.

7. (2024秋·福田区校级期中)如图，四边形ABCD是矩形，点E在CD边上，点F在DC延长线上，AE//BF.
(1)下列条件：①点E是CD的中点；②BE平分∠ABF；③点A与点F关于直线BE对称. 请从中选择一个能证明四边形ABFE是菱形的条件，②或③，并写出完整的证明过程.
(2)若∠BEF=∠DAE，AE=6，BE=8，求四边形ABFE的面积.48

答案： 解：（1）
∵四边形 $ABCD$ 是矩形，
∴$AB// CD$.
∵$AE// BF$，$AB// CD$，
∴四边形 $ABFE$ 是平行四边形.
选择条件②：
∵$BE$ 平分 $\angle ABF$，
∴$\angle EBF = \angle ABE$.
∵四边形 $ABCD$ 是矩形，$AB// CD$，
∴$\angle BEF = \angle ABE$，
∴$\angle BEF = \angle EBF$，
∴$BF = EF$.
∴平行四边形 $ABFE$ 是菱形.
选择条件③：
∵点 $A$ 与点 $F$ 关于直线 $BE$ 对称，
∴$AB = BF$.
∴平行四边形 $ABFE$ 是菱形.
（2）
∵四边形 $ABCD$ 是矩形，
∴$\angle D = \angle BCE = 90^{\circ}$，$AB = CD$，$AD = BC$，
∴$\angle DAE+\angle DEA = 90^{\circ}$.
∵$\angle BEF = \angle DAE$，
∴$\angle BEF+\angle DEA = 90^{\circ}$，
∴$\angle AEB = 180^{\circ}-(\angle BEF+\angle DEA) = 90^{\circ}$.
在 $Rt\triangle ABE$ 中，$AE = 6$，$BE = 8$，
∴$AB=\sqrt{AE^{2}+BE^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}} = 10$.
∵$\angle AEB = \angle D$，$\angle DEA = \angle EAB$，
∴$\triangle ADE\backsim\triangle BEA$，
∴$\frac{AD}{AE}=\frac{BE}{AB}$，即 $\frac{AD}{6}=\frac{8}{10}$，解得 $AD = 4.8$.
由（1）得四边形 $ABFE$ 是平行四边形，
∴平行四边形 $ABFE$ 的面积为 $AB\times AD = 10\times 4.8 = 48$.