《2025年广东名师讲练通九年级数学全一册北师大版深圳专版》

1. (根据九年级北师大版教材P33做一做改编)二次函数$y = \frac{1}{3}x^{2}$图象的顶点坐标是(B)。
A. $(1,0)$
B. $(0,0)$
C. $(-1,0)$
D. $(0,\frac{1}{3})$

答案： 1. B

2. 关于二次函数$y = 2x^{2}$与$y = -2x^{2}$，有下列叙述：①它们的图象都是抛物线；②它们的图象的对称轴都是$y$轴；③它们的图象都经过点$(0,0)$；④二次函数$y = 2x^{2}$的图象开口向上，二次函数$y = -2x^{2}$的图象开口向下；⑤它们的图象关于$x$轴对称。其中正确的有(A)。
A. 5个
B. 4个
C. 3个
D. 2个

答案： 2. A

3. 抛物线$y = 2x^{2}$，$y = -2x^{2}$，$y = \frac{1}{2}x^{2}$共有的性质是(B)。
A. 开口向下
B. 对称轴是$y$轴
C. 都有最低点
D. $y$随$x$的增大而减小

答案： 3. B

4. 若二次函数$y = ax^{2}$的图象过点$P(-2,4)$，则该图象必经过点(A)。
A. $(2,4)$
B. $(-2,-4)$
C. $(-4,2)$
D. $(4,-2)$

答案： 4. A

5. 与抛物线$y = -\frac{5}{3}x^{2}$关于$x$轴对称的抛物线为$ y = \frac{5x^2}{3} $。

答案： 5. $ y = \frac{5x^2}{3} $

6. 已知点$A(0,\frac{1}{8})$，直线$m$为$y = -\frac{1}{8}$，抛物线$y = 2x^{2}$上有一点$P$，过点$P$作直线$m$的垂线段$PB$，求证：$PA = PB$。

答案： 6. 证明：设 $ P(a, 2a^2) $，易得 $ PA = \sqrt{a^2 + (2a^2 - \frac{1}{8})^2} = \sqrt{(2a^2 + \frac{1}{8})^2} = 2a^2 + \frac{1}{8} $，$ PB = 2a^2 - (-\frac{1}{8}) = 2a^2 + \frac{1}{8} $，$ \therefore PA = PB $。

7. 如图，$A$，$B$，$C$，$D$四点在抛物线$y = ax^{2}$上，且$AB // CD // x$轴，与$y$轴的交点分别为$E$，$F$，已知$AB = 20$，$CD = 10$，$EF = 3$，求$a$的值及$OF$的长。

$a$的值为$-\dfrac{1}{25}$，$OF$的长为$1$。

答案： 7. 解：由 $ CD = 10 $，可设 $ D(5, b) $，
$ \because AB = 20 $，$ EF = 3 $，$ \therefore B(10, b - 3) $，
$ \therefore \begin{cases} 25a = b, \\ 100a = b - 3, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} a = -\frac{1}{25}, \\ b = -1, \end{cases} $ $ \therefore OF = 1 $。