《2025年广东名师讲练通九年级数学全一册北师大版深圳专版》

【例2】如图，要测量物体MN的高度，步骤如下：
(1)在测点A处安置测倾器，测得点M的仰角为∠MCE=α；
(2)在测点A与物体之间的B处安置测倾器，测得此时M的仰角为∠MDE=β；
(3)量出测倾器的高度AC=BD=a，以及测点A，B之间的距离AB=b.借助$\frac{ME}{\tan \alpha}-\frac{ME}{\tan \beta}=b$，求出ME，则可得MN=ME+EN=$\frac{b \tan \alpha \cdot \tan \beta}{\tan \beta - \tan \alpha} + a$.

答案： $\frac{b \tan \alpha \cdot \tan \beta}{\tan \beta - \tan \alpha} + a$

对点训练2 如图，某数学活动小组用高度为1.5米的测角仪BC，对垂直于地面CD的建筑物AD的高度进行测量，BC⊥CD于点C.在B处测得A的仰角∠ABE=45°，然后将测角仪向建筑物方向水平移动6米至FG处，FG⊥CD于点G，测得A的仰角∠AFE=58°，BF的延长线交AD于点E.求建筑物AD的高度(结果保留小数点后一位).(参考数据：$\sin 58^{\circ} \approx 0.85$，$\cos 58^{\circ} \approx 0.53$，$\tan 58^{\circ} \approx 1.60$)

解：根据题意可知四边形 $BEDC$ 是矩形，$\therefore DE = BC =$1.5m。
$\because \tan \angle ABE = \frac{AE}{BE}$，$\tan \angle AFE = \frac{AE}{EF}$，
$\therefore AE = BE \cdot \tan 45^{\circ} = BE$，$EF = \frac{AE}{\tan 58^{\circ}}$。
$\because BE = EF + BF$，$\therefore AE =$6$ + \frac{AE}{\tan 58^{\circ}}$，
$\therefore AE \approx$16米。$\therefore AD = AE + DE \approx$17.5米。
答：建筑物 $AD$ 的高度约为17.5米。

答案： 解：根据题意可知四边形 $BEDC$ 是矩形，$\therefore DE = BC = 1.5m$。
$\because \tan \angle ABE = \frac{AE}{BE}$，$\tan \angle AFE = \frac{AE}{EF}$，
$\therefore AE = BE \cdot \tan 45^{\circ} = BE$，$EF = \frac{AE}{\tan 58^{\circ}}$。
$\because BE = EF + BF$，$\therefore AE = 6 + \frac{AE}{\tan 58^{\circ}}$，
$\therefore AE \approx 16$ 米。$\therefore AD = AE + DE \approx 17.5$ 米。
答：建筑物 $AD$ 的高度约为 $17.5$ 米。

1.（2023·深圳一模）如图，一个供轮椅行走的斜坡通道AB的长为6米，坡角∠ABC=α，则斜坡的垂直高度AC的长可以表示为（A）.

A. $6 \sin \alpha$米
B. $6 \cos \alpha$米
C. $6 \tan \alpha$米
D. $\frac{6}{\sin \alpha}$米

答案： A

2.（2023·深圳统考二模）在综合实践课上，某班同学测量校园内一棵树的高度.如图，测量仪在A处测得树顶D的仰角为45°，在C处测得树顶D的仰角为37°（点A，B，C在同一条水平直线上），已知测量仪的高度AE=CF=1.65米，AC=28米，则树BD的高度是（D）.（参考数据：$\sin 37^{\circ} \approx 0.60$，$\cos 37^{\circ} \approx 0.80$，$\tan 37^{\circ} \approx 0.75$）

A. 12米
B. 12.65米
C. 13米
D. 13.65米

答案： D