《2025年广东名师讲练通九年级数学全一册北师大版深圳专版》

知识点1 二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的图象与画法
二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的图象的对称轴是直线①$x=-\frac {b}{2a}$，顶点坐标是②$(-\frac {b}{2a},\frac {4ac-b^{2}}{4a})$。
简易画法：五点定形法。
其步骤如下：
(1)先根据函数表达式求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点$M$，并用虚线画出对称轴；
(2)求抛物线$y = ax^{2}+bx + c$与坐标轴的交点，当抛物线与$x$轴有两个交点时，描出这两个交点$A$，$B$及抛物线与$y$轴的交点$C$，再找到点$C$关于对称轴的对称点$D$，将$A$，$B$，$C$，$D$及$M$这五个点按从左到右的顺序用平滑的曲线连接起来。
注意：当抛物线与$x$轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与$y$轴的交点$C$及其关于对称轴的对称点$D$，由$C$，$M$，$D$三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点$A$，$B$，然后顺次用平滑的曲线连接五点，画出二次函数的图象。

答案： ①$x=-\frac {b}{2a}$ ②$(-\frac {b}{2a},\frac {4ac-b^{2}}{4a})$

【例1】(2024·南山区校级模拟)已知二次函数$y = -x^{2}+2x + 4$，则下列说法正确的是(C)。
A. 该函数的图象开口向上
B. 该函数图象与$y$轴的交点坐标为$(0,5)$
C. 当$x = 1$时，$y$有最大值为$5$
D. 当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大

答案： C

对点训练1 已知一个二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的自变量$x$与函数$y$的几组对应值如下表：
| $x$ | $\cdots$ | $-4$ | $-2$ | $0$ | $3$ | $5$ | $\cdots$ |
| $y$ | $\cdots$ | $-24$ | $-8$ | $0$ | $-3$ | $-15$ | $\cdots$ |
则下列关于这个二次函数的结论正确的是(D)。
A. 图象的开口向上
B. 当$x＞0$时，$y$的值随$x$值的增大而增大
C. 图象经过第二、三、四象限
D. 图象的对称轴是直线$x = 1$

答案： D

【例2】求下列函数图象的开口方向、对称轴及顶点坐标。
(1)$y = x^{2}-4x - 1$；开口方向为向上，对称轴为直线$x=2$，顶点坐标为$(2,-5)$；
(2)$y = -2x^{2}+4x - 3$。开口方向为向下，对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,-1)$。

答案： 解：（1）开口向上，对称轴为直线$x=2$，顶点坐标为$(2,-5)$；
（2）开口向下，对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,-1)$．

对点训练2 求下列函数图象的开口方向、对称轴及顶点坐标。
(1)$y = \frac{1}{3}x^{2}+2x + 1$；开口方向：向上，对称轴：直线$x=-3$，顶点坐标：$(-3,-2)$
(2)$y = -3x^{2}-4x + 2$；开口方向：向下，对称轴：直线$x=-\frac {2}{3}$，顶点坐标：$(-\frac {2}{3},\frac {10}{3})$

答案： 解：（1）开口向上，对称轴为直线$x=-3$，顶点坐标为$(-3,-2)$．
（2）开口向下，对称轴为直线$x=-\frac {2}{3}$，顶点坐标为$(-\frac {2}{3},\frac {10}{3})$．