《2025年广东名师讲练通九年级数学全一册北师大版深圳专版》

7. （2023·宝安区三模）如图是某高铁站扶梯的示意图，扶梯$AB$的坡度$i=5:12$。李老师乘扶梯从底端$A$以$0.5m/s$的速度用时$40s$到达顶端$B$，则李老师上升的垂直高度$BC$为$\frac{100}{13}$m。

答案： $\frac{100}{13}$m

8. 已知$E$是矩形$ABCD$的边$AD$上一点，且$DE=\frac {1}{2}CD=\frac {1}{3}AD$，求$∠ACE$的正切值。

解:如图，过点A作AF⊥CE交CE的延长线于点F，则∠F=90°.
设DE=a，∵DE=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{3}$AD，四边形ABCD是矩形，
∴CD=2a，AD=3a，∠D=90°，
∴AE=AD−DE=3a−a=2a,
CE=$\sqrt{CD^{2}+DE^{2}}$=$\sqrt{(2a)^{2}+a^{2}}$=$\sqrt{5}$a.
∵∠F=∠D=90°，∠AEF=∠CED,∴△AEF∽△CED,
∴$\frac{AE}{CE}$=$\frac{EF}{ED}$=$\frac{AF}{CD}$，∴$\frac{2a}{\sqrt{5}a}$=$\frac{EF}{a}$=$\frac{AF}{2a}$，
∴EF=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$a,AF=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$a,
∴CF=CE+EF=$\sqrt{5}$a+$\frac{2\sqrt{5}}{5}$a=$\frac{7\sqrt{5}}{5}$a,
∴tan∠ACE=$\frac{AF}{CF}$=$\frac{\frac{4\sqrt{5}}{5}a}{\frac{7\sqrt{5}}{5}a}$=$\frac{4}{7}$.

答案： 解:如图，过点A作AF⊥CE交CE的延长线于点F，则∠F=90°.
设DE=a，
∵DE=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{3}$AD，四边形ABCD是矩形，
∴CD=2a，AD=3a，∠D=90°，
∴AE=AD−DE=3a−a=2a,
CE=$\sqrt{CD^{2}+DE^{2}}$=$\sqrt{(2a)^{2}+a^{2}}$=$\sqrt{5}$a.
∵∠F=∠D=90°，∠AEF=∠CED,
∴△AEF∽△CED,
∴$\frac{AE}{CE}$=$\frac{EF}{ED}$=$\frac{AF}{CD}$，
∴$\frac{2a}{\sqrt{5}a}$=$\frac{EF}{a}$=$\frac{AF}{2a}$，
∴EF=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$a,AF=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$a,
∴CF=CE+EF=$\sqrt{5}$a+$\frac{2\sqrt{5}}{5}$a=$\frac{7\sqrt{5}}{5}$a,
∴tan∠ACE=$\frac{AF}{CF}$=$\frac{\frac{4\sqrt{5}}{5}a}{\frac{7\sqrt{5}}{5}a}$=$\frac{4}{7}$.

9. 如图，在$\triangle ACD$中，$∠C=90^{\circ }$，$∠A=15^{\circ }$，点$B$在边$AC$上，且$AB=BD=2$。
（1）求$BC$的长；$\sqrt{3}$
（2）求$tan∠CAD$的值。$2-\sqrt{3}$

答案： 解:　
(1)
∵AB=BD=2,
∴∠A=∠ADB=15°，
∴∠DBC=∠A+∠ADB=30°,
∵∠C=90°，
∴CD=$\frac{1}{2}$BD=1.
在Rt△DBC中，
由勾股定理，得BC=$\sqrt{BD^{2}-CD^{2}}$=$\sqrt{2^{2}-1^{2}}$=$\sqrt{3}$
(2)
∵AB=2,BC=$\sqrt{3}$，
∴AC=AB+BC=2+$\sqrt{3}$
∴tan∠CAD=$\frac{CD}{AC}$=$\frac{1}{2+\sqrt{3}}$=2−$\sqrt{3}$