《2025年广东名师讲练通九年级数学全一册北师大版深圳专版》

知识点1 正切
如图，在$Rt\triangle ABC$中，如果锐角$∠A$确定，那么$∠A$的①对边与②邻边的比便随之确定，这个比叫做$∠A$的③正切，记作$tanA$，即$tanA=\frac {∠A的对边}{∠A的邻边}=\frac {a}{b}$。
特别说明：$tanA$是一个整体符号，即表示$∠A$的正切，记号里习惯省去角的符号“$∠$”(后面的$sinA$，$cosA$也是这样)，但不能写成$tan·A$，对于用三个大写字母表示一个角的情况，三角函数中的符号“$∠$”不能省略，应写成$tan∠BAC$，而不能写成$tanBAC$。

答案： ①对边　②邻边　③正切

【例1】如图，在$\triangle ABC$中，$AB=9$，$BC=6$，$\triangle ABC$的面积等于9，求$sinB$。

解:如图，过点C作CD⊥AB于点D，
∵△ABC中，AB=9，△ABC的面积等于9，∴$\frac{1}{2}$AB·CD=9,
∴CD=2，∴sinB=$\frac{CD}{BC}$=$\frac{2}{6}$=$\frac{1}{3}$.

答案： 解:如图，过点C作CD⊥AB于点D，
∵△ABC中，AB=9，△ABC的面积等于9，
∴$\frac{1}{2}$AB·CD=9,
∴CD=2，
∴sinB=$\frac{CD}{BC}$=$\frac{2}{6}$=$\frac{1}{3}$.

对点训练1 如图，已知$Rt\triangle ABC$中，$∠C=90^{\circ }$，$AC=4$，$tanA=\frac {1}{2}$，则$BC$的长是(A)。
A. 2
B. 8
C. $2\sqrt {5}$
D. $4\sqrt {5}$

答案： A 

知识点2 梯子倾斜程度与正切$tanA$的关系
$tanA$的值越④大，梯子越⑤陡。

答案： ④大　⑤陡

【例2】下图为甲、乙两个自动扶梯的示意图，哪一个自动扶梯比较陡？

解:因为甲自动扶梯中，tanα=$\frac{4}{8}$=$\frac{1}{2}$，
乙自动扶梯中，tanβ=$\frac{5}{\sqrt{13^{2}-5^{2}}}$=$\frac{5}{12}$，
tanα＞tanβ,所以甲自动扶梯比较陡.

答案： 解:因为甲自动扶梯中，tanα=$\frac{4}{8}$=$\frac{1}{2}$，
乙自动扶梯中，tanβ=$\frac{5}{\sqrt{13^{2}-5^{2}}}$=$\frac{5}{12}$，
tanα＞tanβ,所以甲自动扶梯比较陡.

对点训练2 如图，下面四个梯子中最陡的是(B)。

答案： B