《2025年广东名师讲练通九年级数学全一册北师大版深圳专版》

【例2】为了防洪需要,某地决定新建一座拦水坝.如图,拦水坝的横断面为梯形ABCD,斜面坡度$i = 3:4$是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比.已知斜坡CD的长度为20米,$\angle C = 18^{\circ}$,求斜坡AB的长.(结果精确到0.1米)(参考数据:$\sin18^{\circ} \approx 0.31,\cos18^{\circ} \approx 0.95,\tan18^{\circ} \approx 0.32$)

答案：
解:如图，过点D作DE⊥BC，垂足为E，

由题意得，AF⊥BC，DE=AF.
∵斜面AB的坡度i=3:4，
∴$\frac{AF}{BF}$=$\frac{3}{4}$，
∴设AF=3x米，则BF=4x米，
在Rt△ABF中，AB=$\sqrt{AF^{2}+BF^{2}}=\sqrt{(3x)^{2}+(4x)^{2}}$=5x(米)，
在Rt△DEC中，∠C=18°，CD=20米，
∴DE=CD·sin18°≈20×0.31=6.2(米)，
∴AF=DE=6.2米，
∴3x=6.2，
解得x=$\frac{31}{15}$，
∴AB=5x≈10.3(米)，
∴斜坡AB的长约为10.3米.

对点训练2 (2023·深圳模拟预测)港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥、被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程.它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作.港珠澳大桥主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥,其中九洲航道桥主塔造型取自“风帆”,寓意“扬帆起航”.某校九年级学生为了测量该主塔的高度,站在B处看塔顶A,仰角为$60^{\circ}$,然后向后走160米($BC = 160$米),到达C处,此时看塔顶A,仰角为$30^{\circ}$,则该主塔的高度是(B).

A. 80米
B. $80\sqrt{3}$米
C. 160米
D. $80\sqrt{2}$米

答案： B 解析:如图，过点A作AD⊥CB于点D，根据题意，得∠ABD=60°，∠ACB=30°，
∵∠ABD=∠BAC+∠ACB，
∴∠BAC=30°，
∴∠BAC=∠ACB，
∴AB=BC=160米.
在Rt△ABD中，AD=AB·sin60°=160×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=80$\sqrt{3}$(米)，即该主塔的高度是80$\sqrt{3}$米.