《2025年广东名师讲练通九年级数学全一册北师大版深圳专版》

6. (2023·深圳宝安中学周测)如图，二次函数 $ y = ax^{2}+bx + c(a\neq0) $ 的图象的顶点在第一象限，且过点 $ (0,1) $ 和 $ (-1,0) $，下列结论：① $ ab＜0 $；② $ b^{2}＞4a $；③ $ 0＜a + b + c＜2 $；④ $ 0＜b＜1 $；⑤当 $ x＞-1 $ 时，$ y＞0 $．其中正确结论的个数是(B)．

A. 5
B. 4
C. 3
D. 2

答案： B 解析：由题易知 $ c = 1 $，$ a - b + c = 0 $，$ \therefore b = 1 + a $。又抛物线开口向下，$ \therefore a ＜ 0 $，又 $ -\frac{b}{2a} ＞ 0 $，$ \therefore b ＞ 0 $，$ \therefore ab ＜ 0 $，故①正确；$ \because $ 抛物线与 $ x $ 轴有两个交点，$ \therefore b^{2} - 4ac ＞ 0 $，$ \therefore b^{2} ＞ 4a $，故②正确；显然当 $ x = 1 $ 时，$ y ＞ 0 $，$ \therefore a + b + c ＞ 0 $，而 $ a + b + c = 2 + 2a ＜ 2 $，故③正确；又 $ b = a + 1 ＜ 1 $，且 $ b ＞ 0 $，故④正确；⑤显然不正确，$ y $ 也可能小于或等于 0。故选 B。

7. 如图，抛物线 $ y = ax^{2}+bx + c $ 的对称轴为直线 $ x = 1 $，则下列结论中，错误的是(C)．

A. $ ac＜0 $
B. $ b^{2}-4ac＞0 $
C. $ 2a - b = 0 $
D. $ a - b + c = 0 $

答案： C

8. (2024秋·光明区校级期中)已知二次函数 $ y = ax^{2}+bx + c(a\neq0) $，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点 $ (-2,0) $，对称轴为直线 $ x = -\frac{1}{2} $．对于下列结论：① $ abc＜0 $；② $ 2a + c = 0 $；③ $ am^{2}+bm＜\frac{1}{4}(a - 2b) $（其中 $ m\neq-\frac{1}{2} $）；④若 $ A(x_{1},y_{1}) $ 和 $ B(x_{2},y_{2}) $ 均在该函数图象上，且 $ x_{1}＞x_{2}＞1 $，则 $ y_{1}＞y_{2} $．其中正确结论的个数是(B)．

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

答案： B 解析：$ \because $ 抛物线的对称轴为直线 $ x = -\frac{1}{2} $，且抛物线与 $ x $ 轴的一个交点坐标为 $ (-2, 0) $，$ \therefore $ 抛物线与 $ x $ 轴的另一个交点坐标为 $ (1, 0) $，把 $ (-2, 0) $，$ (1, 0) $ 代入 $ y = ax^{2} + bx + c $（$ a \neq 0 $），可得 $ \begin{cases} 4a - 2b + c = 0, \\ a + b + c = 0, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} b = a, \\ c = -2a, \end{cases} $ $ \therefore 2a + c = 0 $，故②正确；$ \because $ 抛物线开口方向向下，$ \therefore a ＜ 0 $，$ \therefore b = a ＜ 0 $，$ c = -2a ＞ 0 $，$ \therefore abc ＞ 0 $，故①错误；$ \because am^{2} + bm = am^{2} + am = a(m + \frac{1}{2})^{2} - \frac{1}{4}a $。$ \frac{1}{4}(a - 2b) = \frac{1}{4}(a - 2a) = -\frac{1}{4}a $，$ \therefore am^{2} + bm - \frac{1}{4}(a - 2b) = a(m + \frac{1}{2})^{2} $，又 $ \because a ＜ 0 $，$ m \neq -\frac{1}{2} $，$ \therefore a(m + \frac{1}{2})^{2} ＜ 0 $，即 $ am^{2} + bm ＜ \frac{1}{4}(a - 2b) $（其中 $ m \neq -\frac{1}{2} $），故③正确；$ \because $ 抛物线的对称轴为直线 $ x = -\frac{1}{2} $，且抛物线开口向下，$ \therefore $ 当 $ x ＞ -\frac{1}{2} $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小，$ \because x_{1} ＞ x_{2} ＞ 1 ＞ -\frac{1}{2} $，$ \therefore y_{1} ＜ y_{2} $，故④错误。故选 B。

9. 已知抛物线 $ y = a(x + 1)^{2}+n(a＜0,n $ 为常数）的一般形式为 $ y = ax^{2}+bx + c(a＜0,a,b,c $ 为常数），该抛物线与 $ x $ 轴的一个交点在点 $ (-3,0) $ 和 $ (-2,0) $ 之间，则下列结论：
① $ a + b + c＜0 $；
② $ 2a - b = 0 $；
③设一元二次方程 $ ax^{2}+bx + c = 0 $ 的两根为 $ x_{1},x_{2} $，则 $ x_{1}+x_{2}=2 $；
④对于任意实数 $ m $，不等式 $ a(m^{2}-1)+(m - 1)b\leqslant0 $ 恒成立．
其中正确的是①②（填序号）．

答案： ①② 解析：由 $ y = a(x + 1)^{2} + n $（$ a ＜ 0 $，$ n $ 为常数），知抛物线开口向下，对称轴为直线 $ x = -1 $，与 $ x $ 轴的另一个交点在 $ (0, 0) $，$ (1, 0) $ 之间，$ \therefore x = 1 $ 时，$ y = a + b + c ＜ 0 $，故①正确；对称轴为直线 $ x = -\frac{b}{2a} = -1 $，$ \therefore 2a - b = 0 $，故②正确；$ x_{1} + x_{2} = -\frac{b}{a} = -2 $，故③错误；$ \because 2a - b = 0 $，$ \therefore b = 2a $，$ \therefore a(m^{2} - 1) + (m - 1)b = a(m^{2} - 1) + 2a(m - 1) = a(m + 1)^{2} - 4a $，$ \because a ＜ 0 $，$ \therefore a(m + 1)^{2} - 4a \leq -4a $ 且 $ -4a ＞ 0 $，故④错误。故答案为①②。

10. 如图，抛物线 $ y = ax^{2}+bx + c(a\neq0) $ 与 $ x $ 轴交于点 $ (x_{1},0) $，$ (2,0) $，其中 $ 0＜x_{1}＜1 $，下列四个结论：① $ abc＜0 $；② $ a + b + c＞0 $；③ $ 2b + 3c＜0 $；④不等式 $ ax^{2}+bx + c＜-\frac{c}{2}x + c $ 的解集为 $ 0＜x＜2 $．其中正确的个数是(C)．

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

答案： C 解析：$ \because $ 抛物线开口向上，对称轴在 $ y $ 轴右侧，与 $ y $ 轴交于正半轴，$ \therefore a ＞ 0 $，$ b ＜ 0 $，$ c ＞ 0 $，$ \therefore abc ＜ 0 $，故①正确；$ \because $ 当 $ x = 1 $ 时，$ y ＜ 0 $，$ \therefore a + b + c ＜ 0 $，故②错误；$ \because $ 抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c $ 与 $ x $ 轴交于点 $ (x_{1}, 0) $，$ (2, 0) $，其中 $ 0 ＜ x_{1} ＜ 1 $，$ \therefore \frac{2 + 0}{2} ＜ -\frac{b}{2a} ＜ \frac{2 + 1}{2} $，$ \therefore 1 ＜ -\frac{b}{2a} ＜ \frac{3}{2} $，当 $ -\frac{b}{2a} ＜ \frac{3}{2} $ 时，$ b ＞ -3a $，当 $ x = 2 $ 时，$ y = 4a + 2b + c = 0 $，$ \therefore b = -2a - \frac{1}{2}c $，$ \therefore -2a - \frac{1}{2}c ＞ -3a $，$ \therefore 2a - c ＞ 0 $，$ \therefore 2b + 3c = -4a - c + 3c = -4a + 2c = -2(2a - c) ＜ 0 $，故③正确；设 $ y_{1} = ax^{2} + bx + c $，$ y_{2} = -\frac{c}{2}x + c $，由题图得，当 $ y_{1} ＜ y_{2} $ 时，$ 0 ＜ x ＜ 2 $，故④正确。综上，正确的有①③④，共 3 个，故选 C。

11. (2024春·龙华区月考)二次函数 $ y = ax^{2}+bx + c $ 的图象如图所示，其对称轴为 $ x = 1 $，有以下结论：① $ a＜0,c＞0 $；② $ 9a + 3b + c＞0 $；③ $ 4ac - b^{2}＜0 $；④ $ 3a + c＜0 $．其中正确的个数是(C)．

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

答案： C 解析：$ \because $ 抛物线开口向下，$ \therefore a ＜ 0 $；$ \because b = -2a $，$ \therefore b ＞ 0 $，$ \because $ 抛物线与 $ y $ 轴交点在 $ x $ 轴上方，$ \therefore c ＞ 0 $，$ \therefore $ ①正确，符合题意。由图象可得当 $ x = -1 $ 时，$ y ＜ 0 $，根据抛物线对称性可得 $ x = 3 $ 时，$ y ＜ 0 $，$ \therefore 9a + 3b + c ＜ 0 $，②错误，不符合题意。$ \because $ 图象与 $ x $ 轴有两个不同的交点，$ \therefore 4ac - b^{2} ＜ 0 $，③正确，符合题意。$ \because x = -1 $，$ y ＜ 0 $，$ \therefore a - b + c ＜ 0 $，$ \because b = -2a $，$ \therefore 3a + c ＜ 0 $，④正确，符合题意。$ \therefore $ 正确的有①③④。