《2025年广东名师讲练通九年级数学全一册北师大版深圳专版》

【例1】如图，东西方向上有A，C两地相距10千米，甲以16千米/时的速度从A地出发向正东方向前进，乙以12千米/时的速度从C地出发向正南方向前进，那么最快经过(A)小时，甲、乙两人相距6千米。
A. $\frac{2}{5}$
B. $\frac{3}{5}$
C. 1.5
D. $\frac{1}{3}$

答案： A 解析:设最快经过x小时，甲、乙两人相距6千米，根据题意可得，BC=(10−16x)千米，DC=12x千米，
∵BC²+DC²=BD²，
∴(10−16x)²+(12x)²=6²，解得x₁=x₂=0.4.
∴最快经过0.4小时，甲、乙两人相距6千米。

对点训练1《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇。甲、乙各走了多少步？”请问甲走的步数是$\frac{49}{2}$。

答案： $\frac{49}{2}$　解析:设甲、乙两人相遇的时间为t，则乙走了3t步，甲斜向北偏东方向走了(7t−10)步，依题意得10²+(3t)²=(7t−10)²，整理得40t²-140t=0，解得t₁=$\frac{7}{2}$，t₂=0(不合题意，舍去)，
∴7t=7×$\frac{7}{2}$=$\frac{49}{2}$，即甲走的步数是$\frac{49}{2}$，故答案为$\frac{49}{2}$。

【例2】(根据九年级北师大版教材P53第2题改编)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8m，BC=6m，点P，Q同时由C，B两点出发分别沿CA，BC方向向点A，C匀速移动(一个点到达终点时另一个点也停止运动)，点P，Q的速度分别是2m/s和1m/s，经过几秒△PCQ的面积是Rt△ABC面积的$\frac{1}{3}$？

答案：

对点训练2(2024秋·福田区期中)如图，在矩形ABCD中，AB=8m，AD=3cm，动点P，Q同时出发，点P从点A出发以2cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q从点C出发以1cm/s的速度向点D移动。请问当点P和点Q的距离是5cm时，P，Q两点出发了( )秒。
A. 4
B. $\frac{4}{3}$或4
C. $\frac{8}{3}$或8
D. $\frac{8}{3}$

答案：
B　解析:8÷2=4(秒)，
过点Q作QE⊥AB于点E，则四边形BCQE是矩形，如图所示。
当运动时间为t秒时，AP=2t，CQ=BE=t，
∴PE=|AB−AP−BE|=|8−2t−t|=|8−3t|。
根据题意，得PE²+EQ²=PQ²，
即(8−3t)²+3²=5²
整理得3t²−16t+16=0，解得t₁=$\frac{4}{3}$，t₂=4，
∴当点P和点Q的距离是5cm时，P，Q两点出发了$\frac{4}{3}$秒或4秒。
故选B。