《2025年广东名师讲练通九年级数学全一册北师大版深圳专版》

1. $ x^{2}-4x + 3 = 0 $.

答案： 解：$x^{2}-4x+3=0$，$(x-3)(x-1)=0$，
$\therefore x-3=0$或$x-1=0$，解得$x_{1}=3$，$x_{2}=1$。

2. $ x^{2}+5x - 6 = 0 $.

答案： 解：$x^{2}+5x-6=0$，$(x+6)(x-1)=0$，
$\therefore x+6=0$或$x-1=0$，$x_{1}=-6$，$x_{2}=1$。

3. $ x^{2}+8x - 9 = 0 $.

答案： 【解析】：本题可使用因式分解法来求解方程$x^{2}+8x - 9 = 0$。
对于二次三项式$x^{2}+8x - 9$，需要将常数项$-9$分解为两个数的乘积，且这两个数的和等于一次项系数$8$。
因为$-9 = 9\times(-1)$，且$9 + (-1)=8$，所以$x^{2}+8x - 9$可因式分解为$(x + 9)(x - 1)$，则原方程可转化为$(x + 9)(x - 1)=0$。
根据“若两个数的乘积为$0$，则至少其中一个数为$0$”，可得$x + 9 = 0$或$x - 1 = 0$。
当$x + 9 = 0$时，解得$x = -9$；当$x - 1 = 0$时，解得$x = 1$。
【答案】：$x_{1}=1$，$x_{2}=-9$

4. $ x^{2}+2 = 3x $.

答案： 【解析】：本题可先将方程化为一般形式，再利用因式分解法求解方程。
- **步骤一：将方程化为一般形式**
将方程$x^{2}+2 = 3x$移项化为一般形式$ax^2 + bx + c = 0$（$a\neq0$），可得$x^{2}-3x + 2 = 0$。
- **步骤二：对$x^{2}-3x + 2 = 0$进行因式分解**
根据十字相乘法，将二次项系数$1$分解为$1\times1$，常数项$2$分解为$(-1)\times(-2)$，交叉相乘再相加$1\times(-2)+1\times(-1)=-3$，恰好等于一次项系数，所以$x^{2}-3x + 2 = 0$可因式分解为$(x - 1)(x - 2) = 0$。
- **步骤三：求解方程**
根据“若两个数的乘积为$0$，则至少其中一个数为$0$”，可得$x - 1 = 0$或$x - 2 = 0$。
分别求解这两个方程：
当$x - 1 = 0$时，解得$x = 1$。
当$x - 2 = 0$时，解得$x = 2$。
【答案】：$x_{1}=1$，$x_{2}=2$

5. $ x^{2}+6x + 8 = 0 $.

答案： 【解析】：对于方程$x^{2}+6x + 8 = 0$，我们可以使用因式分解法来求解。将方程左边分解因式，$x^{2}+6x + 8$可分解为$(x + 2)(x + 4)$，则原方程可化为$(x + 2)(x + 4)=0$。根据“若两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0”，可得$x + 2 = 0$或$x + 4 = 0$。当$x + 2 = 0$时，解得$x=-2$；当$x + 4 = 0$时，解得$x=-4$。
【答案】：$x_{1}=-2$，$x_{2}=-4$

6. $ x^{2}-2x - 15 = 0 $.

答案： 【解析】：对于方程$x^{2}-2x - 15 = 0$，我们可以使用因式分解法来求解。将方程左边分解因式，需要找到两个数，它们的乘积为$-15$，和为$-2$，这两个数是$-5$和$3$，则原方程可化为$(x - 5)(x+3)=0$。根据“若两个数的乘积为$0$，则至少其中一个数为$0$”，可得$x - 5 = 0$或$x + 3 = 0$，解得$x_1 = 5$，$x_2=-3$。
【答案】：$x_1 = 5$，$x_2=-3$

7. $ x^{2}+3x - 10 = 0 $

答案： 【解析】：对于方程$x^{2}+3x - 10 = 0$，我们可以使用因式分解法来求解。将方程左边进行因式分解，把$-10$分解为$5\times(-2)$，且$5+(-2)=3$，那么$x^{2}+3x - 10$可分解为$(x + 5)(x - 2)$，原方程就变为$(x + 5)(x - 2)=0$。根据“若两个数的乘积为$0$，则至少其中一个数为$0$”，可得$x + 5 = 0$或$x - 2 = 0$。当$x + 5 = 0$时，解得$x=-5$；当$x - 2 = 0$时，解得$x = 2$。
【答案】：$x_{1}=2$，$x_{2}=-5$

8. $ x^{2}-2x - 8 = 0 $.

答案： 【解析】：对于方程$x^{2}-2x - 8 = 0$，我们可以使用因式分解法来求解。将方程左边分解因式，可得$(x - 4)(x+2)=0$。根据“若两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0”，则有$x - 4 = 0$或者$x + 2 = 0$。当$x - 4 = 0$时，解得$x = 4$；当$x + 2 = 0$时，解得$x=-2$。
【答案】：$x_{1}=4$，$x_{2}=-2$

9. $ x^{2}-4x - 5 = 0 $.

答案： 【解析】：对于方程$x^{2}-4x - 5 = 0$，我们可以使用因式分解法来求解。将方程左边分解因式，根据十字相乘法可得$x^{2}-4x - 5=(x - 5)(x+1)$，则原方程可化为$(x - 5)(x + 1)=0$。根据“若两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0”，可得$x - 5 = 0$或者$x + 1 = 0$。当$x - 5 = 0$时，解得$x = 5$；当$x + 1 = 0$时，解得$x=-1$。
【答案】：$x_{1}=5$，$x_{2}=-1$

10. $ (x - 1)(x + 3) = 12 $.

答案： 【解析】：
1. 首先将方程$(x - 1)(x + 3)=12$展开：
根据多项式乘法法则$(a + b)(c + d)=ac+ad+bc+bd$，可得$(x - 1)(x + 3)=x^{2}+3x - x - 3=x^{2}+2x - 3$。
那么原方程就变为$x^{2}+2x - 3 = 12$。
2. 然后将方程化为一般形式：
移项可得$x^{2}+2x - 3-12 = 0$，即$x^{2}+2x - 15 = 0$。
3. 接着对$x^{2}+2x - 15$进行因式分解：
对于二次三项式$ax^{2}+bx + c$（$a\neq0$），这里$a = 1$，$b = 2$，$c=-15$，需要找到两个数$m$、$n$，使得$m + n=b = 2$，$mn=ac=-15$，可发现$m = 5$，$n=-3$。
所以$x^{2}+2x - 15=(x + 5)(x - 3)$，则方程$x^{2}+2x - 15 = 0$可化为$(x + 5)(x - 3)=0$。
4. 最后求解方程：
根据“若$ab = 0$，则$a = 0$或$b = 0$”，可得$x+5 = 0$或$x - 3 = 0$。
当$x+5 = 0$时，解得$x=-5$；当$x - 3 = 0$时，解得$x = 3$。
【答案】：$x_{1}=-5$，$x_{2}=3$

11. 某校九年级兴趣班的同学们毕业前每位同学向其他同学各赠送一张不同贺卡,全班共互赠了132张,那么兴趣班有多少位学生?

答案： 【解析】：设兴趣班有$x$位学生。每位同学要向除自己之外的$(x - 1)$位同学各赠送一张贺卡，那么$x$位同学共赠送$x(x - 1)$张贺卡。已知全班共互赠了$132$张贺卡，所以可列方程$x(x - 1)=132$，即$x^{2}-x - 132 = 0$，分解因式得$(x - 12)(x+11)=0$，解得$x = 12$或$x=-11$。因为学生人数不能为负数，所以舍去$x=-11$。
【答案】：12

12. 参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手15次,有多少人参加聚会?

答案： 【解析】：设参加聚会的有$x$人。每个人都要和除自己之外的$(x - 1)$人握手，但每次握手会被重复计算两次，所以可得方程$\frac{x(x - 1)}{2}=15$，即$x(x - 1)=30$，展开得到$x^{2}-x - 30 = 0$，分解因式为$(x - 6)(x+5)=0$，解得$x = 6$或$x=-5$，人数不能为负数，所以舍去$x=-5$。
【答案】：6人

13. $ 3x^{2}-5x = 2 $.

答案： 【解析】：本题可先将方程化为一般形式，再利用因式分解法求解方程。
- **步骤一：将方程化为一般形式**
将方程$3x^{2}-5x = 2$移项化为一般形式$ax^2 + bx + c = 0$（$a\neq0$），可得$3x^{2}-5x - 2 = 0$。
- **步骤二：对$3x^{2}-5x - 2$进行因式分解**
对于二次三项式$ax^2 + bx + c$（$a\neq0$），可采用十字相乘法进行因式分解。
将$3x^{2}-5x - 2$因式分解为$(3x + 1)(x - 2)$，则原方程可化为$(3x + 1)(x - 2)=0$。
- **步骤三：求解方程**
根据“若两个数的乘积为$0$，则至少其中一个数为$0$”，可得$3x + 1 = 0$或$x - 2 = 0$。
当$3x + 1 = 0$时，移项可得$3x = -1$，两边同时除以$3$，解得$x = -\frac{1}{3}$。
当$x - 2 = 0$时，移项可得$x = 2$。
【答案】：$x_{1}=2$，$x_{2}=-\frac{1}{3}$

14. $ 2x^{2}-7x + 6 = 0 $.

答案： 【解析】：对于一元二次方程$2x^{2}-7x + 6 = 0$，这里$a = 2$，$b=-7$，$c = 6$。
根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，先计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(-7)^{2}-4\times2\times6=49 - 48 = 1$。
则$x=\frac{7\pm\sqrt{1}}{2\times2}=\frac{7\pm1}{4}$，
当取$+$号时，$x_1=\frac{7 + 1}{4}=2$；
当取$-$号时，$x_2=\frac{7 - 1}{4}=\frac{3}{2}$。
【答案】：$x_1 = 2$，$x_2=\frac{3}{2}$

15. $ 2x^{2}+x - 1 = 0 $.

答案： 【解析】：对于一元二次方程$2x^{2}+x - 1 = 0$，这里$a = 2$，$b = 1$，$c = -1$。
根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，先计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac$，将$a = 2$，$b = 1$，$c = -1$代入可得：
$\Delta=1^{2}-4\times2\times(-1)=1 + 8 = 9$。
再将$a = 2$，$b = 1$，$\Delta = 9$代入求根公式可得：
$x=\frac{-1\pm\sqrt{9}}{2\times2}=\frac{-1\pm3}{4}$。
当取正号时，$x_1=\frac{-1 + 3}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$；
当取负号时，$x_2=\frac{-1 - 3}{4}=\frac{-4}{4}=-1$。
【答案】：$x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=-1$

16. $ 3x^{2}-4x + 1 = 0 $.

答案： 【解析】：对于方程$3x^{2}-4x + 1 = 0$，我们可以使用因式分解法来求解。将方程左边分解因式，$3x^{2}-4x + 1=(3x - 1)(x - 1)$，则原方程可化为$(3x - 1)(x - 1)=0$。根据“若两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0”，可得$3x - 1 = 0$或$x - 1 = 0$。当$3x - 1 = 0$时，$3x=1$，解得$x=\frac{1}{3}$；当$x - 1 = 0$时，解得$x = 1$。
【答案】：$x_{1}=1$，$x_{2}=\frac{1}{3}$

17. $ 2x^{2}+5x + 3 = 0 $.

答案： 【解析】：对于一元二次方程$2x^{2}+5x + 3 = 0$，我们可以使用因式分解法来求解。将方程左边分解因式，$2x^{2}+5x + 3$可分解为$(2x + 3)(x+1)$，则原方程可化为$(2x + 3)(x + 1)=0$。根据“若两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0”，可得$2x+3 = 0$或$x + 1 = 0$。当$2x+3 = 0$时，$2x=-3$，解得$x=-\frac{3}{2}$；当$x + 1 = 0$时，解得$x=-1$。
【答案】：$x_{1}=-1,x_{2}=-\frac{3}{2}$

18. $ 2x^{2}-6x + 4 = 0 $.

答案： 【解析】：本题可先对原方程进行化简，再利用因式分解法求解方程。
- **步骤一：化简方程**
方程$2x^{2}-6x + 4 = 0$两边同时除以$2$，可得$x^{2}-3x + 2 = 0$。
- **步骤二：对$x^{2}-3x + 2$进行因式分解**
根据十字相乘法，将二次项系数$1$分解为$1\times1$，常数项$2$分解为$(-1)\times(-2)$，交叉相乘再相加$1\times(-2)+1\times(-1)=-3$，恰好等于一次项系数，所以$x^{2}-3x + 2=(x - 1)(x - 2)$。
此时方程可化为$(x - 1)(x - 2)=0$。
- **步骤三：求解方程**
根据“若两个数的乘积为$0$，则至少其中一个数为$0$”，可得$x - 1 = 0$或$x - 2 = 0$。
分别求解这两个方程：
当$x - 1 = 0$时，解得$x = 1$。
当$x - 2 = 0$时，解得$x = 2$。
【答案】：$x_1 = 1$，$x_2 = 2$

19. $ 2x^{2}-9x + 4 = 0 $.

答案： 【解析】：对于一元二次方程$ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$，可以使用求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$来求解。在方程$2x^{2}-9x + 4 = 0$中，$a = 2$，$b=-9$，$c = 4$。先计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(-9)^{2}-4\times2\times4=81 - 32 = 49$。然后将$a$、$b$、$\Delta$的值代入求根公式可得$x=\frac{9\pm\sqrt{49}}{2\times2}=\frac{9\pm7}{4}$，即$x_1=\frac{9 + 7}{4}=\frac{16}{4}=4$，$x_2=\frac{9 - 7}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
【答案】：$x_1 = 4$，$x_2=\frac{1}{2}$

20. $ 3x^{2}-11x + 6 = 0 $.

答案： 【解析】：对于一元二次方程$3x^{2}-11x + 6 = 0$，这里$a = 3$，$b=-11$，$c = 6$。
根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，先计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(-11)^{2}-4\times3\times6=121 - 72 = 49$。
则$x=\frac{11\pm\sqrt{49}}{2\times3}=\frac{11\pm7}{6}$。
当取正号时，$x_1=\frac{11 + 7}{6}=\frac{18}{6}=3$；当取负号时，$x_2=\frac{11 - 7}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
【答案】：$x_1 = 3$，$x_2=\frac{2}{3}$

21. $ 3x^{2}+38x + 24 = 0 $.

答案： 【解析】：对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，其求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$。在方程$3x^{2}+38x + 24 = 0$中，$a = 3$，$b = 38$，$c = 24$。先计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(38)^{2}-4\times3\times24=1444 - 288 = 1156$。然后将$a$、$b$、$\Delta$的值代入求根公式可得$x=\frac{-38\pm\sqrt{1156}}{2\times3}=\frac{-38\pm34}{6}$。当取正号时，$x_1=\frac{-38 + 34}{6}=\frac{-4}{6}=-\frac{2}{3}$；当取负号时，$x_2=\frac{-38 - 34}{6}=\frac{-72}{6}=-12$。
【答案】：$x_1 = - 12$，$x_2=-\frac{2}{3}$

22. $ 3x^{2}-27x + 24 = 0 $.

答案： 【解析】：本题可先提取公因式，再利用因式分解法求解方程。
- **步骤一：提取公因式**
观察方程$3x^{2}-27x + 24 = 0$，每一项都有公因式$3$，提取公因式可得$3(x^{2}-9x + 8) = 0$。
- **步骤二：对括号内的式子进行因式分解**
对于二次三项式$x^{2}-9x + 8$，需要找到两个数，它们的和为$-9$，积为$8$，这两个数是$-1$和$-8$，则$x^{2}-9x + 8=(x - 1)(x - 8)$，那么原方程可化为$3(x - 1)(x - 8) = 0$。
- **步骤三：求解方程**
要使$3(x - 1)(x - 8) = 0$成立，则$x - 1 = 0$或$x - 8 = 0$。
当$x - 1 = 0$时，解得$x = 1$。
当$x - 8 = 0$时，解得$x = 8$。
【答案】：$x_1 = 1$，$x_2 = 8$