《2025年广东名师讲练通九年级数学全一册北师大版深圳专版》

3. 如图,在矩形$ABCD$中,对角线$AC$,$BD$交于点$O$,下列条件:①$AC\perp BD$;②$AB = BC$;③$\angle ACB = 45^{\circ}$;④$OA = OB$.上述条件能使矩形$ABCD$是正方形的是(B).

A. ①②③④
B. ①②③
C. ②③④
D. ①③④

答案： B

4. (2024秋·龙岗区校级月考)如图,将长方形纸片折叠,使$A$点落在$BC$上的$F$处,折痕为$BE$,若沿$EF$剪下,则折叠部分是一个正方形,其数学原理是(A).

A. 邻边相等的矩形是正方形
B. 对角线相等的菱形是正方形
C. 两个全等的直角三角形构成正方形
D. 轴对称图形是正方形

答案： A

5. 如图,在矩形$ABCD$中,$AE$平分$\angle BAD$交$BC$于点$E$,$AD = 8\ \text{cm}$,$CE = 3\ \text{cm}$,则$AB=$5$\text{cm}$.

答案： 5　解析:如图，过点E作EF⊥AD于点F，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠FAB=∠ABE=90°，AF//BE.
∵EF⊥AD,
∴∠FAB=∠ABE=∠AFE =90°，
∴四边形ABEF是矩形,
∵AE平分∠BAD，AF//BE，
∴∠FAE=∠BAE =∠AEB=∠AEF，
∴AB=AF，
∴矩形ABEF是正方形，
∴AF=BE,
∴DF=CE =3，
∴AB=AF=AD−DF=8−3=5.

6. 如图,四边形$ABCD$为正方形,点$E$是$BC$的中点,将正方形$ABCD$沿$AE$折叠,得到点$B$的对应点为点$F$,延长$EF$交线段$DC$于点$P$.若$AB = 6$,则$DP$的长度为____2.

答案： 2　解析:如图所示，连接AP，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=AD=6,∠B=∠C=∠D=90°.
∵点E是BC的中点，
∴BE=CE=$\frac{1}{2}$AB=3.由翻折可知，AF=AB，EF=BE=3，∠AFE=∠B=90°，
∴AD=AF，∠AFP=∠D=90°.在Rt△AFP和Rt△ADP中，$\begin{cases}AP=AP,\\AF=AD,\end{cases}$
∴Rt△AFP≌Rt△ADP (HL)，
∴PF=PD.设PF=PD=x，则CP=CD−PD=6−x,EP=EF+FP=3 +x，在Rt△PEC中，根据勾股定理得EP²=EC²+CP²，
∴(3+x)²=3²+(6−x)²，解得x=2，则DP的长度为2.

7. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle BAC = 90^{\circ}$,$AD$是中线,$E$是$AD$的中点,过点$A$作$AF// BC$交$BE$的延长线于点$F$,连接$CF$.
(1)求证:$AD = AF$;
证明:∵AF//BC，∴∠EAF=∠EDB.
∵E是AD的中点，∴AE=DE.
在△AEF和△DEB中，$\begin{cases}∠EAF=∠EDB,\\AE=DE,\\∠AEF=∠DEB\end{cases}$
∴△AEF≌△DEB(ASA)，∴AF=BD.
∵在△ABC中，∠BAC=90°，AD是中线，
∴AD=BD，∴AD=AF;
(2)如果$AB = AC$,试判断四边形$ADCF$的形状,并证明你的结论.
解:四边形ADCF是正方形.证明:
∵AF=BD=DC,AF//BC,
∴四边形ADCF是平行四边形.
∵AB=AC，AD是中线，∴AD⊥BC,
∴四边形ADCF是矩形.
∵AD=AF，∴四边形ADCF是正方形.

答案：
(1)证明:
∵AF//BC，
∴∠EAF=∠EDB.
∵E是AD的中点，
∴AE=DE.
在△AEF和△DEB中，$\begin{cases}∠EAF=∠EDB,\\AE=DE,\\∠AEF=∠DEB\end{cases}$
∴△AEF≌△DEB(ASA)，
∴AF=BD.
∵在△ABC中，∠BAC=90°，AD是中线，
∴AD=BD，
∴AD=AF;
(2)解:四边形ADCF是正方形.证明:
∵AF=BD=DC,AF//BC,
∴四边形ADCF是平行四边形.
∵AB=AC，AD是中线，
∴AD⊥BC,
∴四边形ADCF是矩形.
∵AD=AF，
∴四边形ADCF是正方形.