《2025年广东名师讲练通九年级数学全一册北师大版深圳专版》

5. 李芳和李亮用如下方法测楼高:如图,李亮蹲在地上,李芳站在李亮和楼之间,当楼的顶部M、李芳的头顶B及李亮的眼睛A恰在一条直线上时,测出CD=1.25 m,DN=30 m(点C,D,N在一条直线上),李芳的身高BD=1.6 m,李亮蹲地观测时眼睛到地面的距离AC=0.8 m.请你根据以上测量数据帮助他们求出楼的高度.

答案：
解：能. 如图，过点 $ A $ 作 $ AF ⊥ MN $，垂足为点 $ F $，交 $ BD $ 于点 $ E $，则 $ NF = DE = AC = 0.8 $ m，$ AE = CD = 1.25 $ m，$ EF = DN = 30 $ m，$ ∠AEB = ∠AFM = 90° $.
∵ $ ∠BAE = ∠MAF $，
∴ $ △ABE \backsim △AMF $.
∴ $ \frac{BE}{MF} = \frac{AE}{AF} $，即 $ \frac{1.6 - 0.8}{MF} = \frac{1.25}{1.25 + 30} $.
∴ $ MF = 20 $.
∴ $ MN = MF + FN = 20 + 0.8 = 20.8 $（m）.
答：楼的高度为20.8 m.

6. (2024秋·龙岗区月考)某校项目式学习小组开展项目活动,过程如下:
项目主题:测量学校旗杆高度
问题驱动:能利用哪些科学原理来测量旗杆的高度?
组内探究:由于旗杆较高,需要借助一些工具来测量,例如自制直角三角形硬纸板,标杆,平面镜,甚至还可以利用无人机,…,确定方法后,先画出测量示意图,然后实地进行测量,并得到具体数据,从而计算旗杆的高度.
成果展示:下面是同学们进行交流展示时的部分测量方案:

根据上述材料,请你选择一个方案,求出学校旗杆AB的高度.

答案：
解：方案一：由题意得四边形 $ CDBG $ 是矩形，
∴ $ CG = DB = 16.8 $ m，$ CD = GB = 1.7 $ m.
∵ $ ∠ECF = ∠GCA $，$ ∠CEF = ∠CGA = 90° $，
∴ $ △CEF \backsim △CGA $.
∴ $ \frac{CE}{CG} = \frac{EF}{GA} $，
即 $ \frac{0.75}{16.8} = \frac{0.5}{AB - 1.7} $，解得 $ AB = 12.9 $，
答：学校旗杆 $ AB $ 的高度为12.9 m.
方案二：如图，过点 $ C $ 作 $ CH // DB $，交 $ EF $ 于点 $ Q $，交 $ AB $ 于点 $ H $.

由题意得，四边形 $ CDFQ $ 与四边形 $ CDBH $ 都是矩形，
∴ $ CQ = DF = 1.35 $ m，$ CH = DB = 16.8 $ m，$ CD = QF = HB = 1.7 $ m.
∵ $ EF // AB $，
∴ $ △CEQ \backsim △CAH $，
∴ $ \frac{CQ}{CH} = \frac{EQ}{AH} $，即 $ \frac{1.35}{16.8} = \frac{2.6 - 1.7}{AB - 1.7} $，解得 $ AB = 12.9 $.
答：学校旗杆 $ AB $ 的高度为12.9 m.